Sykliske firkanter

Aktivitet

I appleten nedenfor ser du en sirkel. Det er lik avstand mellom de 9 punktene som er markert på sirkellinja.
Tegn så mange ulike trekanter du kan ved å forbinde sentrum i sirkelen med to av punktene på sirkellinja.

 

Du kan også gjøre det samme på dette oppgavearket.

Kan du finne vinklene i hver av trekantene du tegner?

Du skal ha funnet trekanter med disse vinklene:

\(40^\circ, 70^\circ, 70^\circ\)

\(80^\circ,50^\circ,50^\circ\)

\(120^\circ,30^\circ,30^\circ\)

\(160^\circ,10^\circ,10^\circ\)

Nå skal du tegne ulike firkanter i den samme sirkelen. La alle de fire hjørnene ligge på sirkellinja. Du kan bruke det interaktive vinduet, eller du kan tegne på dette arket.

Prøv å finne vinklene i alle firkantene du tegner. Tegn minst fem firkanter på denne måten, og finn alle vinklene.

Hvis du synes det er vanskelig å finne vinklene, kan du åpne Starthjelp.

Studer vinklene som ligger i motstående hjørner i firkantene. Hva legger du merke til?

Nedenfor finner du interaktive vinduer for å tegne firkanter i sirkler med 10, 12, 15 og 18 punkter likt fordelt langs sirkellinja.

10 punkter

12 punkter

15 punkter

18 punkter

Karl tegnet en sirkel og merket av fire punkter tilfeldig plassert på sirkellinja. Han tegnet en firkant mellom punktene.

Kan du vise at summen av to motstående vinkler i en slik firkant alltid blir 180˚?

Firkant i en sirkel
Figur 1

Klikk her for å se en figur som kan hjelpe deg med å bevise det.

Firkant i en sirkel
Figur 2

Firkanter som har alle hjørnene på en sirkellinje, kalles sykliske firkanter.

Ekstra utfordring:

Til nå har vi sett bare på sykliske firkanter der sirkelens sentrum ligger inne i firkanten.

Kan du vise at summen av de motstående vinklene i den sykliske firkanten blir 180˚, også når sentrum ligger utenfor firkanten?

Du kan bruke de interaktive vinduene med sirkler med 9, 10, 12, 15 eller 18 punkter på sirkellinja, eller tegne på arkene som ligger ved som kopioriginaler.

Firkant i en sirkel
Figur 3

Klikk her for å se en figur som kan hjelpe deg med å bevise dette.

Firkant i en sirkel
Figur 4

 

Starthjelp

Trekk linjer fra sentrum i sirkelen til alle hjørnene i firkanten.

  • Du har fire trekanter. Hva slags trekanter er dette? Hvorfor?
  • Hva vet du om vinklene i slike trekanter?
Firkant i en sirkel
Figur 5

Løsning

Vi tar denne figuren til hjelp:

Firkant i en sirkel
Figur 2

Vinkelsummen i en firkant er 360˚. (Hvorfor?) 

Firkanten på figuren er delt i trekanter. Alle trekantene er likebeinte fordi to sider i hver trekant er sirkelradier. I likebeinte trekanter er vinklene ved grunnlinja like store, og på figuren er like store vinkler markert med samme farge.

2 blå vinkler + 2 røde vinkler + 2 grønne vinkler + 2 gule vinkler = 360˚

Vi deler alle ledd på 2 og får

1 blå vinkel + 1 rød vinkel + en grønn vinkel + en gul vinkel = 180˚.

I firkanten består to motstående vinkler av en blå, en rød, en grønn og en gul vinkel til sammen, så summen av to motstående vinkler er 180˚.

Vi kan bruke algebra og gjøre det mer formelt:

Firkant i en sirkel
Figur 6

\(2u+2v+2w+2y=360^\circ\\\)
\(2(u+v+w+y)=360^\circ\\\)
\(​​​​​​​u+v+w+y=180^\circ \)

Motstående vinkler i firkanten består nettopp av summen u + v + w + y, så vi har vist at motstående vinkler i en syklisk firkant alltid blir 180˚ til sammen.

Alternativ løsning

I aktiviteten Vinkler i sirkler var temaet sentralvinkler og periferivinkler, det vil si vinkler med toppunkt i sentrum og vinkler med toppunkt på sirkellinja som begge spenner over samme bue. 

Vi viste at sentralvinkler alltid er dobbelt så store som periferivinkler.

Firkant i en sirkel
Figur 7

Vi markerer to motstående vinkler rød og blå, som på figuren. Vi tegner også inn sentralvinklene som spenner over samme bue som periferivinklene.

De to røde vinklene spenner over den røde buen, og de to blå vinklene spenner over den blå buen.

De to sentralvinklene er 360˚ til sammen, og da må summen av de to periferivinklene være halvparten av dette, 180˚.

Hvis sentrum ligger utenfor firkanten ser vi det samme: 

Firkant i en sirkel
Figur 8

Den røde og den blå periferivinkelen er motstående vinkler i firkanten. De blå vinklene spenner over den blå buen, og de røde vinklene spenner over den røde buen. På samme måte som ovenfor ser vi at de to motstående vinklene til sammen blir 180˚.

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Denne aktiviteten gir elevene mange anledninger til å anvende regler. De må tenke ut hvilke regler de vil bruke, og hvordan de kan brukes. Det leder dem dessuten til et bevis for at motstående vinkler i en syklisk firkant er 180˚ til sammen. Dette arbeidet krever litt tid for at elevene skal ha et godt læringsutbytte.

Mulig tilnærming

Du kan dele ut arbeidsarket der 9 punkter er markert med like stor avstand på en sirkel. Kopioriginal finnes her. Eller elevene kan bruke GeoGebra-appleten.

«Tegn så mange ulike trekanter dere kan, mellom sentrum i sirkelen og to av punktene på sirkellinja. De ni punktene er plassert med helt lik avstand på sirkellinja (periferien). Kan dere da regne ut vinklene i alle trekantene dere tegner?»

Gi elevene tid til å arbeide på egen hånd, og be dem så om å diskutere det de har tenkt og gjort med en partner. Til slutt må klassen i fellesskap snakke sammen, og elevene må forklare og begrunne hvordan de beregnet alle vinklene.

«Vi har nå studert vinkler i trekanter inne i sirkler. Vi skal fortsette med å se på firkanter.»

«Jeg vil at dere skal tegne ulike firkanter der alle hjørnene ligger i noen av de ni punktene på sirkellinja. Slike firkanter kalles sykliske firkanter. Bruk så det dere kan om vinkler til å finne vinklene i firkantene dere tegner.»

Kan hende ønsker du i første omgang å se på tilfeller der sirkelens sentrum ligger inne i firkanten.

Firkant i en sirkel
Figur 5

Så snart elevene har tegnet noen eksempler og regnet ut vinklene i noen firkanter, kan dere i samlet klasse lage en oversikt over vinklene de har regnet ut. Sett det opp så alle kan se det. Noen mulige løsninger er:

Vinkel A Vinkel B Vinkel D Vinkel E
140 60 40 120
100 80 80 100
120 100 60 80
80 140 100 40

«Se på denne tabellen. Legger dere merke til noe?»

Gi elevene litt tid. Hvis ingen har noen forslag, kan du be dem se på vinklene A og D, og deretter på B og E. Dette er to og to motstående vinkler i firkanten.

«Det ser ut til at motstående vinkler blir 180˚ til sammen. Vil det samme skje om vi har sirkler med mer enn ni punkter?»

Del ut ark med 10 punkter, 12 punkter, 15 punkter og 18 punkter

Merk: Alle disse figurene ligger også som interaktive figurer i oppgaven.

Del elevene i grupper, slik at de ulike arkene blir fordelt i klassen. Gi elevene god tid til å tegne firkanter og beregne vinkler i sirklene de fikk utdelt. Pass på at de noterer resultatene sine. Til slutt må klassen samlet se på resultatene.

«Vi har funnet mange eksempler på at motstående vinkler i sykliske trekanter blir 180˚ til sammen. Og vi har ikke funnet noen eksempler på at to motstående vinkler ikke blir 180˚til sammen. Men har vi funnet en regel? Kan vi i tilfelle bevise den?»

Vis elevene denne figuren, og gi dem tid til å tenke over om de kan komme fram til et bevis.

Firkant i en sirkel
Figur 2

Se og lytt på det elevene gjør, og finn ut om noen har notert seg at

«to blå + to røde + to grønne + to gule = 360 grader.

Da må en blå + en rød + en grønn + en gul = 180 grader.

Motsatte vinkler inneholder en blå, en rød, en grønn og en gul del, så de må være 180˚ til sammen.»

Samle klassen og la elevene dele resultatene sine. Hvis det passer for klassetrinnet, kan du også skrive ut beviset mer formelt ved å bruke algebra.

Mulig utvidelse

Elevene kan bli utfordret til å se på sykliske firkanter som ligger utenfor sirkelens sentrum.

Andre sirkelsetninger kan utforskes på lignende måte, se Vinkler i sirkler og Rette vinkler.

Mulig støtte

For elever som synes dette er vanskelig, kan aktiviteten Trekanter i sirkler være bedre å begynne med.
 

Ressursen er utviklet av NRICH

9,10