Trekanter i sirkler

Aktivitet

Hvis du ønsker å arbeide på papir, kan du skrive ut ark med sirkler med 9 punkter her.

I GeoGebra-appleten nedenfor er det en sirkel med 9 punkter som ligger med lik avstand på sirkellinja. Sentrum i sirkelen er også markert. 

Tegn trekanter med ett hjørne i sentrum av sirkelen og de to andre i punkter på sirkellinja. Tegn så mange ulike trekanter du kan!

Kan du finne ut hvor store vinklene i de ulike trekantene er?

Vis/skjul

Du skal kunne finne trekanter med vinkler på

40˚, 70˚, 70˚
80˚, 50˚, 50˚
120˚, 30˚, 30˚
160˚, 10˚, 10˚

Her er en trekant som er tegnet mellom tre av punktene på sirkellinja:

Trekant i en sirkel
Figur 1

Kan du finne vinklene i denne trekanten?

Klikk her for å se en figur som kan hjelpe deg til å finne vinklene: 

Vis/skjul

Trekant i en sirkel
Figur2

 

Tegn noen flere trekanter med hjørner i punktene på sirkellinja.

Hvor mange forskjellige trekanter kan du lage?

Kan du finne vinklene i alle trekantene? 

Kanskje synes du det er vanskeligere å finne vinklene når sentrum i sirkelen ikke ligger inne i trekanten. Klikk nedenfor for å få litt hjelp:

Vis/skjul

Beregning av vinkler i en trekant, inne i en sirkel
Figur 3

 

Løsning

Siden det er 9 punkter plassert regelmessig langs sirkellinja, vil en vinkel mellom sentrum og to punkter som ligger etter hverandre, bli 40˚.

Beregning av vinkler i en trekant ved hjelp av en sirkel
Figur 4

Hvis vi gjør vinkelen større ved å bruke punktene på sirkellinja og tegner en trekant, ser vi at vi kan lage trekanter med toppvinkler på 40˚, 80˚, 120˚ og 160˚.

Alle trekanter som har toppunkt i sentrum og to hjørner på sirkellinja, har to sider som er lik radien i sirkelen. Det betyr at de er likebeinte trekanter, og da vet vi at vinklene ved grunnlinja er like store.

Beregning av vinkler i en trekant ved hjelp av en sirkel
Figur 5

En trekant inne i sirkelen: 

Beregning av vinkler i en trekant, inne i en sirkel
Figur 6

Vi deler opp trekanten i tre trekanter som har toppunkt i sentrum i sirkelen, og skriver på vinkelstørrelsen i alle trekantene. Da kan vi legge sammen to og to vinkler og få vinklene i trekanten som har alle hjørnene på sirkellinja. I dette tilfellet har trekanten vinklene

10˚ + 30˚ = 40˚
30˚ + 50˚ = 80˚
10˚ + 50˚ = 60˚

Hvis sentrum i sirkelen ligger utenfor trekanten, kan vi regne slik som figuren viser:

Første vinkel i trekanten:     blå vinkel + rød vinkel

Andre vinkel i trekanten:     rød vinkel – grønn vinkel

Tredje vinkel i trekanten:     blå vinkel – grønn vinkel

Beregning av vinkler i en trekant, inne i en sirkel
Figur 3

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Dette problemet utfordrer elevene til å anvende alt de vet om vinkler i trekanter. Nipunktssirkelen lar elevene konsentrere seg om de geometriske strukturene, mens regningen er ganske enkel.

Dette er god forberedelse til Rette vinkler, Vinkler i sirkler og Sykliske firkanter, og de leder fram til bevis for flere sirkelsetninger.

Mulig tilnærming

Kopioriginal med nipunktssirkler finner du her.

Dere kan også bruke denne GeoGebra-appleten.

«Hvor mange trekanter kan dere lage hvis ett hjørne skal ligge i sentrum i sirkelen, og de to andre i punkter på sirkellinja?»

«Kan dere finne alle vinklene i alle trekantene?»

Det kan bli spørsmål om hva som gjør trekanter forskjellige. Dette er en fin anledning til å snakke om kongruens.

Etter at elevene har arbeidet litt, gjerne i par, kan du samle klassen til en samtale om hvordan de har funnet vinklene, slik at alle kan bruke denne kunnskapen i arbeidet videre.

Deretter kan du tegne en trekant der alle hjørnene ligger i punkter på sirkellinja. Sørg for at sentrum i sirkelen ligger inne i denne trekanten. For eksempel kan det være en trekant som på figuren nedenfor.

Trekant i en sirkel
Figur 1

 «Kan dere finne vinklene i denne trekanten ved å bruke det vi allerede har funnet ut?»

Etter at elevene har tenkt og diskutert, kan du samle klassen igjen og diskutere hvilke strategier de kan tenke seg å bruke. Det kan bli nødvendig å tegne de likebeinte trekantene med toppunkt i sentrum for å få dem til å se sammenhengen mellom dette problemet og det de nettopp har funnet ut av.

Så snart de har forstått strategien, kan du be dem finne så mange trekanter som mulig og regne ut vinklene i dem.

Det kan kanskje trenges en felles samtale om trekanter som ligger utenfor sirkelsentrum.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hva vet du som kan komme til nytte når du skal regne ut vinklene?
  • Kan du tegne noen ekstra hjelpelinjer for å få problemet til å ligne på et problem vi allerede har løst?

Mulig utvidelse

Rette vinkler, Vinkler i sirkler og Sykliske firkanter er fine oppfølgingsoppgaver til dette problemet.