Rette vinkler

Aktivitet

Kan du lage rettvinklede trekanter ved å trekke linjestykker mellom tre punkter på sirkelen nedenfor?

Kan du arbeide systematisk for å bevise det?

Etter hvert kan du endre antall punkter rundt sirkelen. Kan du lage rettvinklete trekanter nå?

Kan du regne deg fram til at vinkelen er en rett vinkel? Hva legger du merke til med den siden i trekanten som står på motsatt side av den rette vinkelen?

Prøv dette med andre antall punkter rundt sirkelen. Når er det mulig å lage en rettvinklet trekant?

I GeoGebra-appleten vår er det lik avstand mellom alle punktene rundt sirkelen. Se for deg at det ikke hadde vært det. Kan du forklare betingelsene som må oppfylles for å kunne lage en rettvinklet trekant?

Kan du bevise det?

Starthjelp

  • Oppgaven Trekanter i sirkler vil være til hjelp om det er vanskelig å beregne vinkler.
  • Prøv med et partall punkter rundt sirkelen.
  • Det er enklere å bevise hvis du trekker linjestykker til sentrum og ser etter likebeinte trekanter.
     

Løsning

Den eneste måten en rettvinklet trekant kan tegnes mellom tre punkter på en sirkelbue, er når vinkelen mellom sentrum og to punkter er 180°. Dette vil danne en rett linje fra ett punkt til et annet gjennom sentrum, altså en diameter. Det krever også et partall punkter på sirkelbuen.

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Denne oppgaven bygger på Trekanter i sirkler og Vinkler i sirkler, og leder mot teoremet om rette vinkler i sirkler.

Mulig tilnærming

Dersom elvene skal arbeide individuelt på sin egen PC eller tablet, bør du demonstrere hvordan et geobrett fungerer. Lag trekanter og trekk sammenligninger mellom geobrettet og GeoGebra-appleten. Om elevene skal arbeide på papir, ber du dem tegne rettvinklete trekanter på sirkler med 9 og 12 punkter på sirkelbuen. Du finner sirkler med varierende antall punkter på sirkelbuen i lista over kopioriginaler.

Hvor mange forskjellige trekanter kan elevene finne?

Hvordan vet de at en trekant er rettvinklet?

Hva er spesielt med rettvinklete trekanter?

Trekk sammen påstander som nevner antall punkter rundt sirkelen og behovet for å kunne trekke en diameter mellom to punkter. Utfordre elevene til å begrunne påstandene med overbevisende argumenter. Du kan også knytte oppgaven til arbeidet med Vinkler i sirkler, om elevene har jobbet med den.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hva vet vi allerede, som kan være nyttig i denne oppgaven?
  • Hva er forholdet mellom vinkelen i sentrum og vinkelen ved sirkelbuen?
  • Hvilke følger har funnene dine for sirkler generelt (uten punkter)?

Mulig utvidelse

Utfordre elevene til å bevise generaliteten.

Mulig støtte

Elever kan ha behov for å bruke mer tid på å overbevise seg selv om når det er mulig å lage rettvinklete trekanter. Bruk for eksempel sirkler med 10, 12 og 16 punkter, slik at elevene kan utforske flere tilfeller.

Ressursen er utviklet av NRICH

9