Andregradsfunksjoner V

Aktivitet

Faktorisering

I denne aktivitetene trenger du GeoGebra eller et annet digitalt graftegneprogram til noen av oppgavene. Alle grafene skal tegnes digitalt. Oppgavene kan skrives ut fra dette oppgavearket.

Når vi skriver funksjonen \(f(x)=x^2+bx+c\) over på formen \(f(x)=(x+p)(x+q)\), sier vi at vi har faktorisert funksjonsuttrykket.

Hva kan være fordeler med å kunne skrive en funksjon på faktorisert form?

NB! I denne aktiviteten jobber vi bare med funksjoner hvor nullpunktene er hele tall.

  1. Multipliser ut funksjonsuttrykket \(f(x)=(x+1)(x+4)\).
    Hva er sammenhengen mellom koeffisienten foran x og tallene i parentesene (1 og 4)?
    Hva er sammenhengen mellom konstantleddet og tallene i parentesene?
  2. Vi har en funksjon \(f(x)=(x+p)(x+q)\). Multipliser ut funksjonsuttrykket.
    Da får funksjonen formen \(f(x)=x^2+bx+c\).
    Hva er sammenhengen mellom tallene og q og koeffisienten b? Noter!
    Hva er sammenhengen mellom tallene og q og konstantleddet c? Noter!
  3. Multipliser ut funksjonene
    \(g(x)=(x-5)(x-2) \) og \(h(x)=(x-1)(x+5)\).
    Gjelder den samme sammenhengen som du så i oppgave 2, også når tallene i parentesen har negative fortegn?
  4. Faktoriser funksjonen \(s(x)=x^2+5x+6\). Da får den formen \(s(x)=(x+p)(x+q)\).
    Hva er sammenhengen mellom tallene og q og koeffisienten 5?
    Hva er sammenhengen mellom tallene og q og konstantleddet 6?
    Kan du finne tallene og q i dette tilfellet?
    Hva er nullpunktene til funksjonen s?
  5. Faktoriser disse funksjonene på samme måte og finn nullpunktene til funksjonene:
    \(t(x)=x^2+2x-3\)
    \(u(x)=x^2-5x+6\)
    Kanskje må du prøve deg litt fram her. For å kontrollere om løsningen din er riktig, kan du tegne funksjonene som er oppgitt i oppgaven og funksjonene du har skrevet på faktorisert form, i samme koordinatsystem. Hvis du har regnet riktig, vil de to grafene til samme funksjon falle sammen.
  6. Funksjonen \(v(x)=x^2+bx+c \) har nullpunkter i x = -1 og x = 2. Finn verdiene til b og c i funksjonsuttrykket. Kontroller ved å tegne grafen.
  7. Skriv funksjonsuttrykket til en funksjon med nullpunkter i x = 3 og = -7.
    Kontroller ved å tegne grafen.
  8. Finn nullpunktene til funksjonene.
    \(f(x)=x^2+9x+20 \\ g(x)=x^2-13x+30\\ h(x)=x^2-6x+9 \)
    Kontroller ved å tegne grafene
  9. Tegn grafene til \(f(x)=x^2-2x-3 \) og \(g(x)=2x^2-4x-6\), og sammenlign nullpunkter.
    a.  Hva ser du? Hvorfor blir det slik?
    b.  Sett 2 utenfor parentes: \(g(x)=2(\text{ … })\). Hva blir uttrykket inni parentesen?
    c.  Faktoriser begge funksjonene. Hva er likt og hva er ulikt?
    d.  Kan du finne flere funksjoner som har de samme nullpunktene?

    Vi trenger å kunne faktorisere andregradsuttrykk der koeffisienten i andregradsleddet er et annet tall enn 1. Det gjør vi ved å først sette denne koeffisienten utenfor parentes, og så faktorisere uttrykket inne i parentesen.
  10. Faktoriser funksjonsuttrykkene og finn nullpunktene. Kontroller ved å tegne grafene.
    a.  \(h(x)=3x^2+3x-60=3(\text { … … })=3(\text { … })(\text { … })\)
    b.  \(k(x)=7x^2+35x+42=7(\text { … … })=7(\text { … })(\text { … })\)
    c.  \(h(x)=-2x^2+20x-48=-2(\text { … … })=-2(\text { … })(\text { … })\)

Starthjelp

  • Hvilke tall er med på å gi oss koeffisienten foran førstegradsleddet i funksjonsuttrykket? På hvilken måte danner de denne koeffisienten?
  • Hvilke tall er med på å gi oss konstantleddet i funksjonsuttrykket? På hvilken måte danner de denne koeffisienten?
  • Kan du lage en regel for hvordan du skal kunne faktorisere andregradsuttrykk?

Løsning

Hvis vi enkelt kan skrive en andregradsfunksjon over på faktorisert form, kan vi fort finne nullpunktene, også uten å tegne graf.

Senere vil du se at det også er flere fordeler med å skrive en funksjon på faktorisert form. Vi bruker den faktoriserte formen av et uttrykk når vi skal avgjøre for hvilke x-verdier uttrykket er positivt og for hvilke det er negativt.

  1. \(f(x)=(x+1)(x+4) = x^2+ 1\cdot x+ 4\cdot x +1\cdot4=x^2+5x+4\)
    Koeffisienten foran \(x = 1 + 4 = 5\)
    Konstantleddet \(=1\cdot4\)

  2. \(f(x)=(x+p)(x+q) = x^2+(p+q)x+p\cdot q\)
    I funksjonen på formen \(f(x)=x^2+bx+c \) er \(b=p+q\) og \(c=p\cdot q\)

  3. \(g(x)=(x-5)(x-2)= x^2+(-5-2)x+(-5)\cdot (-2)=x^2-7x+10\\ h(x)=(x-1)(x+5)=x^2+(-1+5)x+(-1)\cdot 5=x^2+4x-5 \)
  4. Funksjonen \(s(x)=x^2+5x+6\) skal skrives på formen \(s(x)=(x+p)(x+q)\).
    Da får vi to likninger som må være oppfylt:
    \(p+q=5\\ p\cdot q =6\)
    Hvilke to tall kan oppfylle disse to kravene samtidig? Vi kan sette opp mulige par av tall og prøve oss fram, og huske at i disse oppgavene er og q hele tall.:
    Likning Mulige løsninger
    \(p\cdot q=6\) p = 1 og
    q = 6
    p = -1 og
    q = -6
    p = 2 og
    q = 3
    p = -2 og
    q = -3
    \(p+q=5\) p + q = 7 p + q = -7 p + q = 5 p + q = -5
      Nei Nei Ja Nei

    Vi ser at vi må ha = 2 og q = 3. Da blir faktoriseringen av funksjonsuttrykket slik:
    \(s(x)=x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\).
    Nullpunktene til s er x = -2 og x = -3.
    OBS! Når faktoren er (x + 2), er nullpunktet = -2, fordi denne x-verdien gjør at faktoren bli 0, (-2 + 2) = 0.
  5. \(t(x)=x^2+2x-3 \)
    \(p+q=2 \) og \(p \cdot q= -3 \) gir \(p=3\) og \(q=-1\). Nullpunkter \(x=-3\) og \(x=1\)
    Vi kan skrive funksjonen på faktorisert form, \(t(x)=(x+3)(x-1)\)\(x=-3\) og \(x=1\) er nullpunkter, for det er disse to x-verdiene som gjør funksjonen lik 0.

    \(u(x)=x^2-5x+6\)
    \(p+q=-5\) og \(p\cdot q=6\) gir \(p=-2\) og \(q=-3\). Nullpunkter \(x=2\) og \(x=3\).
    Vi kan skrive funksjonen som \(u(x)=(x-2)(x-3)\). Det er \(x=2\) og \(x=3\) som gjør denne funksjonen lik 0, så dette er funksjonens nullpunkter.
    Kontroll:
    Graf med nullpunkter
    Graf med nullpunkter
  6. Funksjonen \(v(x)=x^2+bx+c\) har nullpunkter i \(x=-1\) og \(x=2\).
    Da er funksjonen på faktorisert form \(v(x)=(x+1)(x-2)\), og \(b=1-2=-1 \) og \(c=1 \cdot (-2)=-2\)
  7. Funksjonsuttrykket til en funksjon med nullpunkter i \(x=3\) og \(x=-7\) blir
    \(f(x)=(x-3)(x+7)=x^2+(-3+7)x+(-3) \cdot 7= x^2+4x-21\)
    Kontroll:
    Graf med nullpunkter
  8. \(f(x)=x^2+9x+20 \) har nullpunkter i \(x=-4\) og \(x=-5\)
    \(g(x)=x^2-13x+30 \) har nullpunkter i \(x=3\) og \(x=10\)
    \(h(x)=x^2-6x+9 \) har nullpunkt i \(x=3\), fordi \(h(x)=(x-3)^2\)
  9.  
    To grafer med sammenfallende nullpunkter
    a.  De to grafene har ulik form, men de har sammenfallende nullpunkt. Da må de inneholde de samme faktorene hvis vi faktoriserer funksjonsuttrykkene.
    b.  \(g(x)=2(x^2-2x-3)\). Når vi faktoriserer, står funksjonsuttrykket til d inne i parentesen.
    c.  \(d(x)=x^2-2x-3=(x+3)(x-1)\) og \(g(x)=2(x^2-2x-3)= 2(x+3)(x-1)\). Funksjonene inneholder de samme faktorene (parentesene) som inneholder x, men i tillegg har faktoren 2.
    d.  Alle funksjoner som har de samme to parentesene som faktorer har de samme nullpunktene. Vi kan lage uendelig mange slike funksjonsuttrykk ved å føye til en tallfaktor, positiv eller negativ (men ikke 0). For hver nye tallfaktor forandres grafens form, men nullpunktene er de samme.
  10. a.  \(h(x)=3x^2-3x-60=3(x^2-x-20)=3(x-5)(x+4)\)    Nullpunkter: \(x=5\) og \(x=4\)
    b.  \(k(x)=7x^2+35x-42=7(x^2+5x-6)=7(x-1)(x+6) \)    Nullpunkter: \(x=1\) og \(x=-6\)
    c.  \(h(x)=-2x^2+20x-48=-2(x^2-10x+24)=-2(x-4)(x-6)\)    Nullpunkter: \(x=4\) og \(x=6\)

 

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

I den foregående aktiviteten var målet å lære å finne nullpunkter til en andregradsfunksjon som var skrevet på faktorisert form. Her følger vi opp med å utnytte denne kunnskapen til å kunne faktorisere andregradsuttrykk og dermed finne nullpunkter.

Mulig tilnærming

Til disse oppgavene må elevene tegne noen grafer i GeoGebra. Oppgavene kan skrives ut, du finner en kopieringsoriginal her.

La elevene arbeide i par. Før de setter i gang med arbeid på egen hånd, kan det være lurt å minne alle på hva det betyr at et funksjonsuttrykk er gitt på faktorisert form. Vet alle hva en faktor er? Ser de at en hel parentes med et uttrykk inni, er en faktor? Spør om de kan tenke seg noen fordeler med å få se funksjonsuttrykket på faktorisert form.

Selve oppgavene er laget slik at elevene kan arbeide seg gjennom alle uten at det er nødvendig med noen stopp med klassesamtaler underveis. Følg med elevene mens de arbeider. Hvordan tenker de? Hvordan forklarer eller argumenterer de? Ser det ut til at de forstår eller ser du at noe faller vanskelig?

Vær oppmerksom på at alle eksemplene i denne aktiviteten handler om funksjoner med heltallige nullpunkter. Vi venter med andre andregradsfunksjoner, og vi venter med andregradsformelen, for nå ønsker vi å etablere en god forståelse for

  • sammenhengen mellom andregradsuttrykk på faktorisert og ikke-faktorisert form
  • hvordan finne nullpunkter på en enkel måte når det er mulig
  • hvordan finne funksjonsuttrykk når vi kjenner nullpunktene

Hvis noen elever står fast, kan du stille spørsmål som kan hjelpe dem videre mot løsninger uten at du overtar løsningen for dem.

Arbeidet avsluttes med en felles gjennomgang av oppgavene. La elevene presentere løsninger, la dem diskutere og vise egne løsninger, både grafisk og ved regning. Oppsummer til slutt, med utgangspunkt i de tre punktene ovenfor.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hvilke tall er med på å gi oss koeffisienten foran førstegradsleddet i funksjonsuttrykket? På hvilken måte danner de denne koeffisienten?
  • Hvilke tall er med på å gi oss konstantleddet i funksjonsuttrykket? På hvilken måte danner de denne koeffisienten?
  •  Kan du lage en regel for hvordan du skal kunne faktorisere andregradsuttrykk?
  • Hvordan kan du finne et funksjonsuttrykk til en funksjon hvis du bare kjenner nullpunktene?

Mulig utvidelse

Hvis noen trenger litt flere utfordringer, kan de fortsette med denne oppgaven:

På figuren ser du tre grafer, en gul, en blå og en rød. Nullpunktene er markert. Finn funksjonsuttrykkene til de tre grafene.
 

Tre grafer med sammenfallende nullpunkt

Mulig støtte 

Denne aktiviteten er den femte i en serie om andregradsfunksjoner:

Ressursen er utviklet av Matematikksenteret