Irrasjonale aritmagoner

Aktivitet

Det anbefales at man har arbeidet med aktiviteten «Multiplikasjons-aritmagoner» før man prøver seg på irrasjonale-aritmagoner.

I «Multiplikasjons-aritmagon» var tallene på sidene produktet av tallene i hjørnene. Gitt at vi bruker de samme reglene, kan du finne ut hvilke tall som må stå i sirklene på figuren under for at multiplikasjons-aritmagonen skal bli riktig?

Thumbnail

Hvis du ikke er helt sikker på hvor du skal begynne, kan du trykke på hintene under:
 

Hint 1

Hver av sirklene er på formen \(a+b\sqrt2\) med verdier for \(a\) og \(b\)

Hint 2

Generelt kan multiplikasjons-aritmagoner løses ved hjelp av multiplikasjon, divisjon og kvadratrøtter.

Hint 3

Å dividere et uttrykk med \(a+b\sqrt2\) er det samme som å si "hva må jeg multiplisere med \(a+b\sqrt2\) for å få uttrykket?"

Hint 4

For å beregne kvadratrota til et uttrykk, for eksempel \(12-8\sqrt2\), vurder ligningen \((x+y\sqrt2)^2=12-8\sqrt2\), utvid parentesene og utled x og y.

 

Starthjelp

  • Begynn med aktiviteten «Multiplikasjons-aritmagoner».
  • Når du har funnet ut av strukturen i multiplikasjons-aritmagon, kan du finne en generell metode for å løse slike aritmagoner?
  • Gjør den irrasjonale formen noe med metoden din?

Løsning

Vi kan se på dette generelt ved å la x, y og z være hjørnene, og A, B og C være sidene. A, B og C er produkt av xy, xz og yz.

\(A=xy,\: B=yz,\: C=xz\)

Thumbnail

  

\(xy=7+7\sqrt2\quad\qquad yz=2-4\sqrt2\quad\qquad xz=-6+2\sqrt2\)
 

\(xy\cdot xz=(7+7\sqrt2)(-6+2\sqrt2)\\ x^2(yz)=-42+14\sqrt2-42\sqrt2+28\\ =-14-28\sqrt2 \\ x^2(2-4\sqrt2) = -(14+28\sqrt2)\\ x^2=\frac{-(14+28\sqrt2)}{2-4\sqrt2}\\ x^2=\frac{-14(1+2\sqrt2)}{2(1-2\sqrt2)}\\ x^2=\frac{-7(1+2\sqrt2)^2}{(1-2\sqrt2)(1+2\sqrt2)}\\x^2 =\frac{-7(1+2\sqrt2)^2}{1-8}\\ x^2=(1+2\sqrt2)^2\\ x=\pm(1 +2\sqrt2) \)
 

Vi setter først inn den positive verdien for x for å finne z og y:

\( xz=-6+2\sqrt2\\ z=\frac{-6+2\sqrt2}{1+2\sqrt2}\\ z=\frac{(-6+2\sqrt2)(1-2\sqrt2)}{1-8}\\ z=\frac{-6+12\sqrt2+2\sqrt2-8}{-7}\\ z=\frac{-14+14\sqrt2}{-7} \\ z= 2-\sqrt2 \)

 

\( xy=7+7\sqrt2\\ y=\frac{7+7\sqrt2}{1+2\sqrt2}\\ y=\frac{(7+7\sqrt2)(1-2\sqrt2)}{1-8}\\ y=\frac{7-14\sqrt2+7\sqrt2-28}{-7}\\ y=\frac{-21-7\sqrt2}{-7}\\ y=3+\sqrt2\\ \)

Ovenfor har vi regnet med den positive løsningen for x for å finne y og z. Vi vet at x også har en negativ løsning, som gir \(y=-(3+\sqrt2)\text{ og }z=-(2-\sqrt2)\).

Vi får altså to sett med løsninger, avhengig av om vi bruker positiv eller negativ x-verdi. Løsningssettene kan også framstilles slik:
 

Løsning med positiv x-verdi:

Thumbnail

 

Løsning med negativ x-verdi:
 

Thumbnail

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Med denne aktiviteten får elevene trening i symbolmanipulasjon. I tillegg må de sette seg godt inn i problemets struktur for å finne en mulig løsningsstrategi.

Mulig tilnærming

Denne aktiviteten bygger på multiplikasjons-aritmagoner, som det er veldig verdifullt å arbeide med før elevene begynner med irrasjonal-aritmagoner. Strategien som elevene utvikler i multiplikasjons-aritmagoner, kan de bygge videre på i irrasjonal-aritmagoner, som også vil gi dem større forståelse av kraften bak generalisering.

Når elevene har kommet fram til generelle regler for hvordan de løser multiplikasjons-aritmagoner, kan de forsøke å løse irrasjonal-aritmagoner på samme måte. Det vil generere mange viktig poeng som de bør få mulighet til å diskutere:

  • Hvilken form har produktet til \((a+b\sqrt2) \: \rm{og} \:(c+d\sqrt2)\)?
  • Hvordan kan vi dividere \((a+b\sqrt2)\: \rm{med} \:(c+d\sqrt2)\)?
  • Hvordan kan vi beregne kvadratrota av et uttrykk på formen \(a+b\sqrt2\)?

Gode veiledningsspørsmål

  • Hva er sammenhengen mellom produktet av tallene på sidene og produktet av tallene i hjørnene?
  • Gitt at vi har hjørnene A, B og C i en multiplikasjonsaritmagon, hvordan kan vi uttrykke tallene på sidene?
  • Hva kan du si om formen på produktet hvis du multipliserer to tall på formen \(a+b\sqrt c\)?

Mulig utvidelse

  • Er løsningen du har funnet unik? Finnes det flere løsninger?

  • Vil du alltid få en gyldig løsning uansett hvilke tall du plasserer på sidene i en multiplikasjonsaritmagon?
  • Er det mulig å lage aritmagoner der noen eller alle tallene i hjørnene er irrasjonale og alle tallene på sidene er rasjonale?

Mulig støtte

Bruk først mye tid på utvikle strategier i aktiviteten «Multiplikasjons-aritmagoner». Deretter kan du gi elevene noen irrasjonale-aritmagoner med enkle uttrykk for at de skal kunne forstå konseptet med formen.

Ressursen er utviklet av NRICH