Læreplankoblet

Irrasjonale aritmagonar

Stikkord: Irrasjonale tall Generalisering Symbolmanipulasjon

Aktivitet

Det blir tilrådd at ein har arbeidd med aktiviteten Multiplikasjons-aritmagonar før ein prøver seg på irrasjonaleIrrasjonale tal er reelle tal som ikkje er heiltal eller brøkar, det vil seie tal som ikkje kan uttrykkjast som forhold mellom heiltal. Når eit irrasjonalt tal blir skrive som eit desimaltal, inneheld talet uendeleg mange desimalar, og desimalutviklinga er ikkje periodisk, det vil seie at desimalane ikkje gjentek seg.-aritmagonar.

I Multiplikasjons-aritmagon var tala på sidene produktet av tala i hjørna. Gitt at vi bruker dei same reglane, kan du finne ut kva tal som må stå i sirklane på figuren under for at multiplikasjons-aritmagonen skal bli rett?

Thumbnail

Viss du ikkje er heilt sikker på kvar du skal byrje, kan du trykkje på hinta under:

Hint 1

Kvar av sirklane er på forma \(a+b\sqrt2\) med verdiar for \(a\) og \(b\)

Hint 2

Generelt kan multiplikasjons-aritmagonar løysast ved hjelp av multiplikasjon, divisjon og kvadratrøter.

Hint 3

Å dividere eit uttrykk med \(a+b\sqrt2\) er det same som å seie "kva må eg multiplisere med \(a+b\sqrt2\) for å få uttrykket?"

Hint 4

For å berekne kvadratrota til eit uttrykk, til dømes \(12-8\sqrt2\), vurder likninga \((x+y\sqrt2)^2=12-8\sqrt2\), utvid parentesane og utlei x og y.

 

Starthjelp

  • Byrj med aktiviteten Multiplikasjons-aritmagonar.
  • Når du har funne ut av strukturen i multiplikasjons-aritmagon, kan du finne ein generell metode for å løyse slike aritmagonar?
  • Gjer den irrasjonaleIrrasjonale tal er reelle tal som ikkje er heiltal eller brøkar, det vil seie tal som ikkje kan uttrykkjast som forhold mellom heiltal. Når eit irrasjonalt tal blir skrive som eit desimaltal, inneheld talet uendeleg mange desimalar, og desimalutviklinga er ikkje periodisk, det vil seie at desimalane ikkje gjentek seg. forma noko med metoden din?

 

Løysing

Vi kan sjå på dette generelt ved å la x, y og z vere hjørna, og A, B og C vere sidene. A, B og C er produkt av xy, xz og yz.

\(A=xy,\: B=yz,\: C=xz\)

Thumbnail

  

\(xy=7+7\sqrt2\quad\qquad yz=2-4\sqrt2\quad\qquad xz=-6+2\sqrt2\)
 

\(xy\cdot xz=(7+7\sqrt2)(-6+2\sqrt2)\\ x^2(yz)=-42+14\sqrt2-42\sqrt2+28\\ =-14-28\sqrt2 \\ x^2(2-4\sqrt2) = -(14+28\sqrt2)\\ x^2=\frac{-(14+28\sqrt2)}{2-4\sqrt2}\\ x^2=\frac{-14(1+2\sqrt2)}{2(1-2\sqrt2)}\\ x^2=\frac{-7(1+2\sqrt2)^2}{(1-2\sqrt2)(1+2\sqrt2)}\\x^2 =\frac{-7(1+2\sqrt2)^2}{1-8}\\ x^2=(1+2\sqrt2)^2\\ x=\pm(1 +2\sqrt2) \)
 

Vi set først inn den positive verdien for x for å finne z og y:

\( xz=-6+2\sqrt2\\ z=\frac{-6+2\sqrt2}{1+2\sqrt2}\\ z=\frac{(-6+2\sqrt2)(1-2\sqrt2)}{1-8}\\ z=\frac{-6+12\sqrt2+2\sqrt2-8}{-7}\\ z=\frac{-14+14\sqrt2}{-7} \\ z= 2-\sqrt2 \)

 

\( xy=7+7\sqrt2\\ y=\frac{7+7\sqrt2}{1+2\sqrt2}\\ y=\frac{(7+7\sqrt2)(1-2\sqrt2)}{1-8}\\ y=\frac{7-14\sqrt2+7\sqrt2-28}{-7}\\ y=\frac{-21-7\sqrt2}{-7}\\ y=3+\sqrt2\\ \)

Ovanfor har vi rekna med den positive løysinga for x for å finne y og z. Vi veit at x også har ei negativ løysing, som gir \(y=-(3+\sqrt2)\text{ og }z=-(2-\sqrt2)\).

Vi får altså to sett med løysingar, avhengig av om vi bruker positiv eller negativ x-verdi. Løysingssetta kan også framstillast slik:

Løysing med positiv x-verdi:

Thumbnail

 

Løysing med negativ x-verdi:
 

Thumbnail

 

Lærarrettleiing

Kvifor arbeide med denne oppgåva?

Med denne aktiviteten får elevane trening i symbolmanipulasjon. I tillegg må dei setje seg godt inn i strukturen til problemet for å finne ein mogleg løysingsstrategi.

Mogleg tilnærming

Denne aktiviteten byggjer på multiplikasjons-aritmagonar, som det er veldig verdifullt å arbeide med før elevane byrjar med irrasjonal-aritmagonar. Strategien som elevane utviklar i multiplikasjons-aritmagonar, kan dei byggje vidare på i irrasjonal-aritmagonar, som også vil gi dei større forståing av krafta bak generalisering.

Når elevane har komme fram til generelle reglar for korleis dei løyser multiplikasjons-aritmagonar, kan dei prøve å løyse irrasjonal-aritmagonar på same måte. Det vil generere mange viktige poeng som dei bør få høve til å diskutere:

  • Kva form har produktet til \((a+b\sqrt2) \: \rm{og} \:(c+d\sqrt2)\)?
  • Korleis kan vi dividere \((a+b\sqrt2)\: \rm{med} \:(c+d\sqrt2)\)?
  • Korleis kan vi berekne kvadratrota av eit uttrykk på forma \(a+b\sqrt2\)?

Gode rettleiingsspørsmål

  • Kva er samanhengen mellom produktet av tala på sidene og produktet av tala i hjørna?

  • Gitt at vi har hjørna A, B og C i ein multiplikasjonsaritmagon, korleis kan vi uttrykkje tala på sidene?

  • Kva kan du seie om forma på produktet viss du multipliserer to tal på forma  \(a+b\sqrt c\)?

Mogleg utviding

  • Er løysinga du har funne unik? Finst det fleire løysingar?

  • Vil du alltid få ei gyldig løysing uansett kva tal du plasserer på sidene i ein multiplikasjonsaritmagon?

  • Er det mogleg å lage aritmagonar der nokon eller alle tala i hjørna er irrasjonale og alle tala på sidene er rasjonale?

Mogleg støtte

Bruk først mykje tid på utvikle strategiar i aktiviteten Multiplikasjons-aritmagonar. Deretter kan du gi elevane nokon irrasjonale-aritmagonar med enkle uttrykk for at dei skal kunne forstå konseptet med forma.

 

Ressursen er utviklet av NRICH

9,10