Produktpar

Aktivitet

Velg fire påfølgende tall.

Multipliser det første og det siste tallet.

Multipliser de to midterste tallene.

Velg flere ulike sett av fire påfølgende tall, og gjør det samme.

Hva legger du merke til?

Forklar det du har lagt merke til. Vil dette gjelde alltid hvis du velger fire påfølgende tall, og multipliserer det første med det siste og de to midterste med hverandre?


Nedenfor ser du hva Karl og Alise har merket seg.

Karl sa

Jeg har lagt merke til at produktet av det ytre paret alltid er 2 mindre enn produktet av det indre paret.

Jeg kan forklare dette ved å kalle de fire påfølgende tallene \(n,\:n+1,\:n+2\:og\:n+3\)

Ytre par: \(n(n+3)=n^2+3n\)

Indre par: \((n+1)(n+2)=n^2+3n+2\)

Alise sa

Jeg tegnet et diagram der de to produktene representeres med arealet av et rektangel.

Thumbnail

Produktet av det ytre paret er representert med det røde rektangelet. 

Produktet av det indre paret er representert med det blå rektangelet.

Det lilla området er felles for begge arealene.

Arealet av den røde stripen vil alltid bli to enheter mindre enn arealet av den blå stripen

Derfor vil produktet av det ytre paret alltid bli 2 mindre enn produktet av det indre paret.

 

I stedet for å gjøre en masse utregninger kan dere bruke disse representasjonene til å sammenligne produktet av det første og det siste tallet med produktet av det andre og det nest siste tallet når dere har

  • 5 påfølgende tall
  • 6, 7, 8 … x påfølgende tall
  • 4 påfølgende partall
  • 4 påfølgende oddetall
  • 5, 6, 7, 8 … x påfølgende oddetall eller partall
  • 4 påfølgende tall i 3-gangen, 4-gangen, 5-gangen …
  • desimaltall med 1 imellom, slik som 1,2, 2,2, 3,2, 4,2
  • fire tall med 3 imellom, slik som 2, 5, 8, 11
  • fire tall med \(\frac12\) imellom, slik som \(4,\:4\frac12,\:5,\:5\frac12\)


Lag noen lignende spørsmål selv. Imponer vennene dine med å gi dem en lommeregner og spå/fortelle på forhånd hva som vil skje.
 

Har du forslag til løsning? Send den gjerne til oss!  

Starthjelp

Denne Geogebra-appleten viser Alises visuelle forklaring i flere tilfeller.

 

Løsning

  • 5 påfølgende tall: Det ytre produktet er 3 mindre enn det indre.
  • 6 påfølgende tall: Det ytre produktet er 4 mindre enn det indre.
  • x påfølgende tall: Det ytre produktet er x – 2 mindre enn det indre.
  • 4 påfølgende partall: Det ytre produktet er 8 mindre enn det indre.
  • 4 påfølgende oddetall: Det ytre produktet er 8 mindre enn det indre.
  • x påfølgende partall eller oddetall: Det ytre produktet er 4(x – 2) mindre enn det indre.
  • 4 påfølgende tall i 3-gangen: Det ytre produktet er 18 mindre enn det indre.
  • 4 påfølgende tall i 4-gangen: Det ytre produktet er 32 mindre enn det indre.
  • 4 desimaltall med 1 imellom, slik som 1,2, 2,2, 3,2, 4,2: Det ytre produktet er 2 mindre enn det indre.
  • Fire tall med 3 imellom, slik som 2, 5, 8, 11: Det ytre produktet er 18 mindre enn det indre.
  • Fire tall med \(\frac12\) imellom, slik som \(4,\:4\frac12,\:5,\:5\frac12\). Det ytre produktet er \(\frac12\) mindre enn det indre.

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Denne oppgaven gir rutineøving i å multiplisere parenteser. Den er også en god øving for å generalisere og bruke algebra til å studere et problem, lage hypoteser og tenke på bevis. Det kan være en fin introduksjon til å vise hvor kraftfull algebra kan være, samtidig som det knytter en geometrisk tolking til de algebraiske uttrykkene.

 

Mulig tilnærming

Et ark med oppgavene som kan skrives ut, finnes her. Et ark som viser Karls og Alises måte å tenke på, finnes her.

«Velg fire påfølgende tall, og multipliser det ytre paret og det indre paret. Hvilke to svar fikk dere?»

Skriv et utvalg av ulike elevsvar på tavla.

«Hva legger dere merke til?»

Det indre produktet er alltid 2 større enn det ytre.

«Vil det alltid være slik? Kan dere i tilfelle forklare hvorfor?»

Gi elevene litt tid til å diskutere i par. Lytt og prøv å få oversikt over hvordan de argumenterer. Samle klassen, og del alle forklaringer de har funnet. Hvis ikke Karls og Alises forklaringer har dukket opp, kan du vise dem.

«Nå har vi sett hva som skjer med produktene av det indre og det ytre paret i en mengde med fire påfølgende tall. Hva tror dere en matematiker vil spørre om i fortsettelsen?»

Skriv alle elevforslag på tavla. Hvis det ikke kommer noen ideer, kan du bruke noen av spørsmålene fra oppgaven.

«Nå skal dere finne ut hva som skjer i de neste oppgavene, ved å bruke de kraftfulle representasjonene vi har sett på, uten å måtte prøve med flere talleksempler først. Men dere kan selvsagt bruke et talleksempel etterpå for å sjekke at det dere har kommet fram til, stemmer.»

La elevene få velge hvilke problemer de vil prøve seg på. Alternativt kan alle finne systemet i hva differansen er, dersom det er fem, seks, sju ... n påfølgende tall. Etterpå kan de raskt finne ut hva differansen blir for et tilfeldig utvalg av påfølgende tall.

Hvis elevene undersøker påfølgende desimaltall med differens 1 eller 2 eller 3 eller 5 (eller n), kan du utfordre dem til å tenke over følgende: Hvis vi har bevist dette generelt med første tall lik a for eksempel, er det da nødvendig å undersøke om det gjelder for desimaltall (eller brøk ellet irrasjonale tall for den saks skyld) med heltallig differens?

(Svaret er nei, fordi de algebraiske bevisene bare tar utgangspunkt i at det første tallet er en reelt tall). Dette er med på å gi elevene innsikt i hvor kraftfulle generelle bevis er.

 

Gode veiledningsspørsmål

Finnes det noen måte å representere produktparene på som kan forklare mønsteret dere har oppdaget?

 

Mulig utvidelse

Denne oppgaven tar bare for seg produktpar mellom tall i hver ende av tallfølgene, de to første og de to siste. Inviter elevene til å sammenligne produktpar der det ene er ett av de to ytterste tallene, og det andre er lenger inne i tallfølgen. For eksempel kan dere studere hva som skjer hvis dere har et odde antall tall i følgen, og sammenligner det ytre produktet med kvadratet av det midterste.