Vel fire etterfølgjande talEtterfølgjande tal er tal som følgjer kvarandre i rekkjefølgje frå minste til største, i vanleg teljerekkjefølgje..
Multipliser det første og det siste talet.
Multipliser dei to midtarste tala.
Vel fleire ulike sett av fire etterfølgjande tal, og gjer det same.
Kva legg du merke til?
Forklar det du har lagt merke til. Vil dette gjelde alltid viss du vel fire etterfølgjande tal, og multipliserer det første med det siste og dei to midtarste med kvarandre?
Nedanfor ser du kva Karl og Alise har merka seg.
Eg har lagt merke til at produktet av det ytre paret alltid er 2 mindre enn produktet av det indre paret.
Eg kan forklara dette ved å kalla dei fire følgjande tala \(n,\:n+1,\:n+2\:og\:n+3\)
Ytre par: \(n(n+3)=n^2+3n\)
Indre par: \((n+1)(n+2)=n^2+3n+2\)
Eg teikna eit diagram der dei to produkta blir representerte med arealet av eit rektangel.
Produktet av det ytre paret er representert med det raude rektangelet.
Produktet av det indre paret er representert med det blå rektangelet.
Det lilla området er felles for begge areala.
Arealet av den raude stripa vil alltid bli to einingar mindre enn arealet av den blå stripa
Derfor vil produktet av det ytre paret alltid bli 2 mindre enn produktet av det indre paret.
I staden for å gjera mange utrekningar kan de bruka desse representasjonane til å samanlikna produktet av det første og det siste talet med produktet av det andre og det nest siste talet når de har
Lag nokre liknande spørsmål sjølv. Imponer vennene dine med å gi dei ein lommereknar og spå/fortelja på førehand kva som vil skje.
Denne Geogebra-appleten viser Alises visuelle forklaring i fleire tilfelle.
Denne oppgåva gir rutineøving i å multiplisera parentesar. Den er også ei god øving for å generalisera og bruka algebra til å studera eit problem, laga hypotesar og tenkja på bevis. Det kan vera ein fin introduksjon til å visa kor kraftfull algebra kan vera, samtidig som det knyter ei geometrisk tolking til dei algebraiske uttrykka.
Eit ark med oppgåvene som kan skrivast ut, finst her. Eit ark som viser Karls og Alises måte å tenkja på, finst her.
«Vel fire etterfølgjande tal, og multipliser det ytre paret og det indre paret. Kva to svar fekk de?»
Skriv eit utval av ulike elevsvar på tavla.
«Kva legg de merke til?»
Det indre produktet er alltid 2 større enn det ytret.
«Vil det alltid vera slik? Kan de i tilfelle forklara kvifor?»
Gi elevane litt tid til å diskutera i par. Lytt og prøv å få oversikt over korleis dei argumenterer. Samle klassen, og del alle forklaringar dei har funne. Viss ikkje Karls og Alises forklaringar har dukka opp, kan du visa dei.
«No har me sett kva som skjer med produkta av det indre og det ytre paret i ei mengd med fire etterfølgjande tal. Kva trur de ein matematikar vil spørja om i fortsetjinga?»
Skriv alle elevforslag på tavla. Viss det ikkje kjem nokon idear, kan du bruka nokon av spørsmåla frå oppgåva.
«No skal de finna ut kva som skjer i dei neste oppgåvene, ved å bruka dei kraftfulle representasjonane me har sett på, utan å måtta prøva med fleire taldøme først. Men de kan sjølvsagt utforska ideane ved å bruka taldøme etterpå.»
La elevane få velja kva problem dei vil prøva seg på. Alternativt kan alle finna systemet i kva differansen er, dersom det er fem, seks, sju ... n etterfølgjande tal. Etterpå kan dei raskt finna ut kva differansen blir for eit tilfeldig utval av etterfølgjande tal.
Viss elevane undersøkjer etterfølgjande desimaltal med differens 1 eller 2 eller 3 eller 5 (eller n), kan du utfordra dei til å tenkja over følgjande: Viss me har bevist dette generelt med første tal lik a til dømes, er det då nødvendig å undersøkja om det gjeld for desimaltal (eller brøk ella irrasjonale tal for den saks skuld) med heiltalig differens?
(Svaret er nei, fordi dei algebraiske bevisa berre tek utgangspunkt i at det første talet er eit reelt tal). Dette er med på å gi elevane innsikt i kor kraftfulle generelle bevis er.
Finnes det nokon måte å representera produktpara på som kan forklara mønsteret de har oppdaga?
Denne oppgåva tek berre for seg produktpar mellom tal i kvar ende av talfølgjene, dei to første og dei to siste. Inviter elevane til å samanlikna produktpar der det eine er eitt av dei to ytste tala, og det andre er lenger inne i talfølgja. Til dømes kan de studera kva som skjer viss de har eit odde tal tal i følgja, og samanliknar det ytre produktet med kvadratet av det midtarste.
Ressursen er utviklet av NRICH