G, T og M

Aktivitet

Det finnes flere sett med fem positive heltall med følgende egenskaper:

  • gjennomsnitt = 4
  • typetall = 3
  • median = 3

Kan du finne alle forskjellige sett med fem positive heltall som oppfyller betingelsene?

Kan du forklare hvordan du vet at du har funnet alle?

Starthjelp

  • Prøv å organiser alle tallsettene i rekkefølge, fra minst til størst. Hvilke av de fem posisjonene er det enklest å fylle inn?
  • Om du kommer på mange forskjellige tall til en av plassene, kan det være lurt å prøve å finne ut hva det høyeste og det laveste tallet på den plassen kan være.
  • Hvilke plasser kan du fylle ut med en gang?

Løsning

Vi skal finne fem positive heltall med gjennomsnitt 4, typetall 3 og median 3.

Vi vet at medianen skal være 3, så det tallet må være med i alle sett med tall, og det må stå som det midterste tallet: _, _, 3, _, _. Siden typetallet også er 3, vet vi at det må være minst ett 3-tall til, til venstre eller til høyre for medianen. Vi kan organisere opplysningene slik:

Tall 1  

  Må være lik eller mindre enn 3

Tall 2

  Må være lik eller mindre enn 3

Tall 3

  Må være 3

Tall 4

  Må være lik eller større enn 3

Tall 5

  Må være større enn 3 (hvis det siste og største tallet er 3,
  kan ikke gjennomsnittet være 4)


Siden gjennomsnittet skal være 4, må summen av alle tallene være 20 (\(\frac{20}5=4\)). Samtidig vet vi at minst to av tallene er 3, så summen av de tre andre tallene må være 14.

Da kan vi lage en oversikt over alle mulige sett med tre tall med sum 14, der det første tallet er lik eller mindre enn 3, og der ingen tall gjentas (bortsett fra 3):
1, 2, 11
1, 3, 10
1, 4, 9
1, 5, 8
1, 6, 7
2, 3, 9
2, 4, 8
2, 5, 7
3, 3, 8
3, 4, 7
3, 5, 6

Når vi skriver disse tallene sammen med de to 3-tallene vi allerede vet at vi må ha, blir settene med fem tall slik:
1, 2, 3, 3, 11
1, 3, 3, 3, 10
1, 3, 3, 4, 9
1, 3, 3, 5, 8
1, 3, 3, 6, 7
2, 3, 3, 3, 9
2, 3, 3, 4, 8
2, 3, 3, 5, 7
3, 3, 3, 3, 8
3, 3, 3, 4, 7
3, 3, 3, 5, 6

Det er altså 11 sett med fem heltall som oppfyller betingelsene. Hvordan kan du overbevise deg selv og andre om at det ikke finnes flere?

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

I denne oppgaven får elevene utfordret kunnskapen de forventes å ha om gjennomsnitt, typetall og median. Samtidig må de begrunne argumentene sine og arbeide systematisk.

Mulig tilnærming

Begynn med å skrive fem tall på tavla, for eksempel: 5, 3, 6, 3, 3, og spør etter gjennomsnitt, typetall og median for tallsettet. Diskuter eventuelle uenigheter.

«Dere vet hvordan vi kan svare på slike spørsmål, men hva om jeg snur om på problemet? Sett at gjennomsnittet, typetallet og medianen til fem positive heltall er slik:
            Gjennomsnitt: 4
            Typetall: 3
            Median: 3
Greier dere å finne de fem tallene?
Er det andre sett med fem tall som oppfyller betingelsene?»

Få inn noen forslag og spør:
«Det ser ut som det finnes en del – kan dere finne flere?
Er det mulig å finne alle?»

La elevene arbeide en stund på egen hånd før de kan samarbeide med en partner. Beveg deg rundt i klasserommet og merk deg elever som har en tilfeldig tilnærming, og hvem som har en mer systematisk tilnærming. Det kan være hensiktsmessig å oppmuntre elever med en tilfeldig tilnærming til å dele problemet opp i mindre deler: «Hva om ett av tallene er 1? Hva om du ikke hadde noen 1-tall? Kan du ha bare ett 3-tall? Hva med to 3-tall? Tre 3-tall?»

Når det er aktuelt, spør du hvert av parene: «Kan dere overbevise dere selv om at dere har funnet alle løsningene? Kan dere overbevise resten av klassen?» Elever som synes det er vanskelig å arbeide systematisk, kan skrive hver løsning på en papirlapp, og deretter organisere dem i grupper.

Det kan være lurt å gi elevene litt tid til å skrive om løsningssettene sine på en måte som gjør det enklere å overbevise andre om at de ikke har gått glipp av noen mulige løsninger.

Be noen elever om å sette opp løsningene sine på tavla eller et stort papirark på en måte som gjør det klart at alle mulige løsninger er inkludert. Hvis dere ender opp med flere forskjellige organiseringer av tallsettene, kan du

  • be hver elev / hvert par om å forklare logikken for resten av klassen
  • be klassen om å forklare logikken bak hver organisering
  • be eleven(e) om å skrive bare noen få av de første settene, og be klassen om å forutse hvilke sett som vil følge etter

Avslutt aktiviteten med å la elevene lage lignende spørsmål som inkluderer gjennomsnitt, typetall, median og variasjonsbredde, til partneren sin. Kan de finne et spørsmål som har én unik løsning?

Gode veiledningsspørsmål

  • Hvilken informasjon er det lurt å starte med?
  • Hvilken prosess gjør at du er sikker på å finne alle mulige løsninger?

Mulig utvidelse

Aktiviteten «Ulike gjennomsnitt» bygger videre på denne aktiviteten.

Mulig støtte

Elever som strever med å arbeide systematisk, kan skrive ned hver enkelt løsning på en liten papirlapp og organisere løsningene i grupper. Bruker du en interaktiv tavle, kan du gjøre det samme ved å notere løsninger på den og organisere dem på forskjellige måter.

Ressursen er utviklet av NRICH