Faktorisert fakultet

Problem

La være et positivt heltall. Vi definerer n! som produktet av alle heltall fra 1 til n, dvs. \(n!=1\cdot2\cdot3\:\cdot\:...\:\cdot \:n\) og kaller det "n fakultet".

Hva er verdien til hvis \(n!=2^{15}\cdot3^6\cdot5^3\cdot7^2\cdot11\cdot13\)?

Starthjelp

  • Skriv ut alle faktorene i produktet på høyre side av likhetstegnet.
  • Prøv å flytte faktorene slik at du får et produkt med heltallene fra 1 og oppover som faktorer. Hvor langt kommer du?

Løsning

\(\begin{array}{l} n!\\ = {2^{15}} \cdot {3^6} \cdot {5^3} \cdot {7^2} \cdot 11 \cdot 13\\ = 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13\\ = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (2 \cdot 2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 11 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 13 \cdot (2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)\\ = 16!\\ \underline {n = 16} \end{array}\)