Integrallikning

Problem

Finn funksjonen f(x) som er løsning i likningen

\(\int_0^x {f(t)dt = 3f(x) + k} \)

der k er en konstant.

 

Løsning

\(\int_0^x {f(t)dt = 3f(x) + k} \)

Vi deriverer begge sider av likningen og får

\(f(x) = 3f'(x)\)
 
Hvis likningen har noen løsning, er den på formen
\(f(x) = A{e^{\frac{x}{3}}}\)  , der A er en konstant. (Hvorfor?)

Vi setter  inn i venstre side av likningen:

\(\int_0^x {A{e^{\frac{t}{3}}}} dt = \left[ {3A{e^{\frac{t}{3}}}} \right]_0^x = 3A{e^{\frac{x}{3}}} - 3A\)
 
\(f(x) = A{e^{\frac{x}{3}}}\) er en løsning hvis, og bare hvis, \(k = - 3A \Leftrightarrow A = - \frac{k}{3}\)  .

Løsning:  \(f(x) = - \frac{k}{3}{e^{\frac{x}{3}}}\)

 

Ressursen er utviklet av NRICH