Aritmetisk følge av primtall

Vi kan lage mange eksempler på primtall som danner aritmetiske følger, der differansene er tall i 6-gangen.
Primtallene opp til 200 er markert:

Eksempler på aritmetiske følger av tre primtall som alle er større enn 3 er:
\(F_1=7,13,19\\ F_2=11,17,23\\ F_3=5,17,29\)
De to første eksemplene har differanse 6, i den siste følgen er differansen 12.

Nedenfor er primtallene markert i tabellen for 6-gangen:
Bortsett fra i første rad, der både 2 og 3 er markert, ser vi at alle primtallene samler seg i to kolonner, tallene rett før og rett etter tallene i 6-gangen. Det vil si tall på formen 6n – 1 og 6n + 1.

Differansen er alltid 6 mellom to tall som ligger rett under hverandre i denne tabellen, så det er tydelig at det finnes mange aritmetiske følger av primtall der differansen er 6 eller i 6-gangen.

Det finnes flere følger av primtall der 3 er med, for eksempel:

\( \begin{align} 3,5,7\:(d&=2)\\ 3,7,11\:(d&=4)\\ 3,11,19\:(d&=8)\\ 3,13,23\:(d&=10)\\ 3,17,31\:(d&=14)\\ 3,23,43\:(d&=20)\\ \\ \end{align}\\ d=\text{differanse}\\\)

Som vi ser av eksemplene ovenfor, er ingen av differansene i 6-gangen. Hvis vi har en tallfølge som begynner med 3 hvor differansen skal være i 6-gangen, må de øvrige tallene i følgen ligge i samme kolonne som 3. Men i denne kolonnen er 3 det eneste primtallet. Så det finnes ingen aritmetiske følger som inneholder 3 hvor differansen er et tall i 6-gangen.

Men kan det finnes aritmetiske følger av tre primtall som er større enn 3 hvor differansen ikke er i 6-gangen? Med andre ord, kan det finnes aritmetiske følger av tre primtall større enn 3 der ikke alle tre finnes i samme kolonne i tabellen ovenfor?

Anta at det finnes en følge av tre primtall der ett tall er på formen \(6n-1\) og to tall på formen \(6n+1\). 

Anta at de tre primtallene er: \(6k+1, 6m-1\text{ og }6k+1+6n=6(k+n)+1\), hvor k, m og n er hele tall.

Differansen mellom de to første tallene:   
 \(d_1=(6m-1)-(6k+1)=6(m-k)-2\)

Differansen mellom de to siste tallene:      
\(d_2=(6(k+n)+1)-(6m-1)=6(k+n-m)+2\)

Ingen av differansene er et multiplum av 6. Men kan det finnes verdier av k, m og n som gjør disse to differansene like store?

Kan \(6(m-k)-2=6(k+n-m)+2?\)

Siden k, m og n er hele tall, er dette et tall fra kolonne 4 (2 mindre enn et tall i 6-gangen) og et tall fra kolonne 2 (2 større enn et tall i 6-gangen) i tabellen ovenfor. Disse kan aldri bli like store, og de tre primtallene kan derfor ikke danne noen aritmetisk følge.

Tilsvarende finner vi hvis vi antar at ett tall er på formen \(6n+1\) og to tall på formen \(6n-1\).

Det betyr at vi ikke kan finne noen aritmetisk følge av tre primtall større enn 3 som har en annen differanse enn et tall i 6-gangen.

Ide til løsning: G. Gangstad: "Den eksklusive primtallsklubben", Tangenten 2/2018.