Aritmetisk følge av primtall

Problem

Vis at hvis tre primtall som alle er større enn 3, danner en aritmetisk følge, vil differansen i følgen være delelig med 6.

Finn noen eksempler på tre primtall som inkluderer 3 (3 er minste tall) og danner en aritmetisk følge. Vis at i alle slike tilfeller vil den felles differansen aldri være delelig med 6.

 

Starthjelp

NB! En aritmetisk følge er en følge av tre eller flere tall som er slik at differansen mellom dem hele tiden er den samme. For eksempel er 1, 2, 3, 4, 5 en aritmetisk følge der differansen er 1, og 0, 6, 12 er en aritmetisk følge der differansen er 6.

Prøv å finne noen aritmetiske følger av tre primtall som er større enn 3, og undersøk om differansene er delelige med 6.
Finn også aritmetiske følger av primtall som inkluderer 3, og undersøk om differansene da er delelige med 6.


Det kan være en hjelp å lage seg en oversikt over primtallene. I vedlegget du finner her står det en tabell over tallene fra 1 til 200. Du kan bruke denne tabellen til å markere primtallene. Finner du noen aritmetiske følger på tre primtall? Hva er differansene i følgene?
Siden oppgaven påstår at differansene i aritmetiske følger av primtall alltid vil være delelige med 6, er det et tips å arrangere tabellen av tall slik at de følger 6-gangen. Bruk tabellen du finner her, og marker primtallene. Hva ser du nå?

 

Løsning

Vi kan lage mange eksempler på primtall som danner aritmetiske følger, der differansene er tall i 6-gangen.
Primtallene opp til 200 er markert:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

 

Eksempler på aritmetiske følger av tre primtall som alle er større enn 3 er:
\(F_1=7,13,19\\ F_2=11,17,23\\ F_3=5,17,29\)
De to første eksemplene har differanse 6, i den siste følgen er differansen 12.


Nedenfor er primtallene markert i tabellen for 6-gangen:
Bortsett fra i første rad, der både 2 og 3 er markert, ser vi at alle primtallene samler seg i to kolonner, tallene rett før og rett etter tallene i 6-gangen. Det vil si tall på formen 6n – 1 og 6n + 1.

Differansen er alltid 6 mellom to tall som ligger rett under hverandre i denne tabellen, så det er tydelig at det finnes mange aritmetiske følger av primtall der differansen er 6 eller i 6-gangen.

1

2

3

4

5

6

 

 

103

104

105

106

107

108

7

8

9

10

11

12

 

 

109

110

111

112

113

114

13

14

15

16

17

18

 

 

115

116

117

118

119

120

19

20

21

22

23

24

 

 

121

122

123

124

125

126

25

26

27

28

29

30

 

 

127

128

129

130

131

132

31

32

33

34

35

36

 

 

133

134

135

136

137

138

37

38

39

40

41

42

 

 

139

140

141

142

143

144

43

44

45

46

47

48

 

 

145

146

147

148

149

150

49

50

51

52

53

54

 

 

151

152

153

154

155

156

55

56

57

58

59

60

 

 

157

158

159

160

161

162

61

62

63

64

65

66

 

 

163

164

165

166

167

168

67

68

69

70

71

72

 

 

169

170

171

172

173

174

73

74

75

76

77

78

 

 

175

176

177

178

179

180

79

80

81

82

83

84

 

 

181

182

183

184

185

186

85

86

87

88

89

90

 

 

187

188

189

190

191

192

91

92

93

94

95

96

 

 

193

194

195

196

197

198

97

98

99

100

101

102

 

 

199

200

201

202

203

204

 

Det finnes flere følger av primtall der 3 er med, for eksempel:

\( \begin{align} 3,5,7\:(d&=2)\\ 3,7,11\:(d&=4)\\ 3,11,19\:(d&=8)\\ 3,13,23\:(d&=10)\\ 3,17,31\:(d&=14)\\ 3,23,43\:(d&=20)\\ \\ \end{align}\\ d=\text{differanse}\\\)

Som vi ser av eksemplene ovenfor, er ingen av differansene i 6-gangen. Hvis vi har en tallfølge som begynner med 3 hvor differansen skal være i 6-gangen, må de øvrige tallene i følgen ligge i samme kolonne som 3. Men i denne kolonnen er 3 det eneste primtallet. Så det finnes ingen aritmetiske følger som inneholder 3 hvor differansen er et tall i 6-gangen.

Men kan det finnes aritmetiske følger av tre primtall som er større enn 3 hvor differansen ikke er i 6-gangen? Med andre ord, kan det finnes aritmetiske følger av tre primtall større enn 3 der ikke alle tre finnes i samme kolonne i tabellen ovenfor?


Anta at det finnes en følge av tre primtall der ett tall er på formen \(6n-1\) og to tall på formen \(6n+1\)

Anta at de tre primtallene er: \(6k+1, 6m-1\text{ og }6k+1+6n=6(k+n)+1\), hvor k, m og er hele tall.

Differansen mellom de to første tallene:   
 \(d_1=(6m-1)-(6k+1)=6(m-k)-2\)

Differansen mellom de to siste tallene:      
\(d_2=(6(k+n)+1)-(6m-1)=6(k+n-m)+2\)

Ingen av differansene er et multiplum av 6. Men kan det finnes verdier av k, m og n som gjør disse to differansene like store?

Kan \(6(m-k)-2=6(k+n-m)+2?\)

Siden k, m og n er hele tall, er dette et tall fra kolonne 4 (2 mindre enn et tall i 6-gangen) og et tall fra kolonne 2 (2 større enn et tall i 6-gangen) i tabellen ovenfor. Disse kan aldri bli like store, og de tre primtallene kan derfor ikke danne noen aritmetisk følge.

Tilsvarende finner vi hvis vi antar at ett tall er på formen \(6n+1\) og to tall på formen \(6n-1\).

Det betyr at vi ikke kan finne noen aritmetisk følge av tre primtall større enn 3 som har en annen differanse enn et tall i 6-gangen.

 

Ide til løsning: G. Gangstad: "Den eksklusive primtallsklubben", Tangenten 2/2018.

 

Ressursen er utviklet av NRICH