Nesten 1

Aktivitet

Nedenfor ser du seks brøker:

\(\displaystyle\frac16\qquad\frac1{25}\qquad\frac35\qquad\frac3{20}\qquad\frac4{15}\qquad\frac58\)

Velg noen av brøkene, og legg dem sammen. Du kan bruke så mange av brøkene du vil, men hver av dem bare én gang.

Kan du få et svar som er nær 1?

Hvor nær 1 kan du komme?

Starthjelp

  • Prøv å legge en brøk som er større enn \(^\frac{1}{2}\) sammen med mindre brøker for å komme nær 1.
  • Du kan tilnærme hver brøk til en brøk du kjenner godt, og så bruke den til å anslå mulige løsninger.
  • Du kan lage en lang tallinje fra 0 til 1, og plassere de seks brøkene på tallinja.
  • Det er alltid enklest å legge sammen brøker med samme nevner.

Løsning

Ingen sum blir nøyaktig lik 1. En løsning som ligger nær 1, er

\(\displaystyle\frac16+\frac4{15}+\frac35=\frac{5+8+18}{30}=\frac{31}{30}=1,03\)

Det er enklere å sammenligne brøkene ved å utvide alle til de får samme nevner:

Først må vi finne fellesnevneren:

\(\begin{align} 6&=2\cdot3\\ 25&=5\cdot5\\ 5&=5\\ 20&=2\cdot2\cdot5\\ 15&=3\cdot5\\ 8&=2\cdot2\cdot2\\\\ \end{align} \\2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5=600 \)

Fellesnevneren er 600.

Når vi gjør om til 600-deler, blir de seks brøkene slik:

\(\displaystyle\frac{100}{600}\qquad\frac{24}{600}\qquad\frac{360}{600}\qquad\frac{160}{600}\qquad\frac{375}{600}\)

Det kan gjøre det lettere å se:

\(\displaystyle\frac{3}{5} + \frac{3}{{20}} + \frac{4}{{15}} = \frac{{360}}{{600}} + \frac{{90}}{{600}} + \frac{{160}}{{600}} = \frac{{610}}{{600}} = 1\frac{1}{{60}}\)

Dette er summen som kommer nærmest 1.

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Å addere og subtrahere brøker er en prosedyre som mange elever synes er vanskelig. Det er viktig å gi øvinger som ikke oppleves som en nøyaktig gjentakelse av oppgaver de har gjort mange ganger tidligere.

En måte å unngå opplevelsen av å få stadig flere oppgaver av samme type, er å legge øvingen inn i et større problem som elevene skal prøve å løse.

Mulig tilnærming

Skriv disse seks brøkene på tavla.

\(\displaystyle\frac{1}{6}\qquad\rm{ }\frac{1}{{25}}\qquad{\rm{ }}\frac{3}{5}\qquad{\rm{ }}\frac{3}{{20}}\qquad{\rm{ }}\frac{4}{{15}}\qquad{\rm{ }}\frac{5}{8}\)

«Hva kan du si om disse seks brøkene?»

Oppmuntre elevene til å si alt de kan komme på. Slike spørsmål gir god øving i å være matematisk observant.

«Hvilken brøk tror du er størst? Hvilken er minst? Hvorfor?»

Siden alle brøkene er uttrykt slik at de ikke kan forkortes, er det lett å se at ingen er like. Elevene kan sammenligne dem ved å gi dem felles nevner eller regne dem om til desimaltall.

Men prøv å oppmuntre dem til å finne ut mest mulig ut fra det de kan om brøk, uten å måtte regne, for eksempel slik:

  • Siden \(\frac1{20}\) er større enn \(\frac1{25}\), er \(\frac3{20}\) helt sikker større enn \(\frac1{25}\).
  • "Skriv en brøk som er lik \(\frac35\). Og en til, og en til..."
  • Skriv brøkene på tavla. Det vil sikkert komme forslag som \(\frac6{10}\)\(\frac{30}{50}\), osv.
  • "Skriv en brøk som er lik \(\frac35\) med oddetall i nevneren."
  • "Skriv en brøk som er lik \(\frac35\), der nevneren er et femsifret tall som ikke slutter på 0."
  • La så elvene gjøre det samme med \(\frac58\).
  • "Hvordan kan du legge sammen \(\frac35\) og \(\frac58\) uten lommeregner?"
  • "\(\frac35+\frac58\) er litt mer enn 1. Er det mulig å finne ut at summen av disse brøkene blir større enn 1, uten å regne det ut nøyaktig?"

Begge brøkene er større enn \(\frac12\), så summen må bli større enn 1.

Gå tilbake til oppgaven:

Nedenfor ser du seks brøker:

\(\displaystyle\frac{1}{6}\qquad\rm{ }\frac{1}{{25}}\qquad{\rm{ }}\frac{3}{5}\qquad{\rm{ }}\frac{3}{{20}}\qquad{\rm{ }}\frac{4}{{15}}\qquad{\rm{ }}\frac{5}{8}\)

Velg noen av brøkene og legg dem sammen. Du kan bruke så mange av brøkene du vil, men hver av dem bare én gang.

Kan du få et svar som er nær 1?

Hvor nær 1 kan du komme?

Presiser at elevene ikke får bruke lommeregner. Oppmuntre dem til å snakke med partneren sin hvis de er usikre på hvordan de skal begynne.

Gi elevene tid til å arbeide med problemet. Dette gir læreren en fin anledning til å gå rundt og se hva de gjør.

Hvis noen for eksempel mener at \(\frac{11}{12}\) er nærmest 1 \(\left(\frac16+\frac35+\frac3{20}\right)\), fordi de "er bare 2 unna", det vil si \(\frac1{12}\), kan de vurdere hvor mye dette avviket utgjør. Hvis de får bruke lommeregneren, vil de finne at løsningen er mer enn 8 % (av 1) mindre enn 1, så de må forsøke å komme nærmere.

Bruk rikelig tid til å dele løsninger og diskutere og resonnere.

Mulig utvidelse

Finn en sum som er så nær \(\frac12\) som mulig.