Velg tre av fem tall

Aktivitet

Se videoen under. Er det slik at Harald alltid vil finne tre tall som i sum er et tall i 3-gangen?

Kan du finne et sett med fem vilkårlige hele tall der det ikke er mulig å velge ut tre tall som i sum gir et tall i 3-gangen?

Hvis du ikke kan finne et slikt sett, kan du bevise at det ikke finnes?

Starthjelp

  • Begynn med aktiviteten «Hvilke tall kan vi lage?».

  • Tenk på et lignende problem: Hvis du velger to tall fra et sett med tre vilkårlige tall, kan du alltid velge to tall som i sum blir et partall. Hvorfor er det slik?

Løsning

Vi ser først på partallene.
Alle tall er enten partall eller oddetall. Partall kan bli skrevet på formen 2n, og oddetall på formen 2n + 1.
Når vi legger sammen to partall, får vi et nytt partall: 2a + 2b = 2(a + b), som er tall i 2-gangen.

På samme måte får vi et partall hvis vi adderer to oddetall: (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1).

Vi vil alltid kunne få et partall til sum hvis vi velger to av tre vilkårlige tall. Det finnes fire mulige kombinasjoner:

  1. Alle tre tallene er partall.

  2. Alle tre tallene er oddetall.

  3. Det er ett partall og to oddetall.

  4. Det er ett oddetall og to partall.

I alle de fire tilfellene kan vi velge enten to partall eller to oddetall.

 

Ved å bruke samme resonnement kan vi også bevise at vi får et tall i 3-gangen hvis vi summerer tre av fem vilkårlige tall.

Ettersom det dreier seg om tall i 3-gangen, kan vi si at alle hele tall er enten i 3-gangen (3n), 1 mer enn et tall i 3-gangen (3n + 1) eller 2 mer enn et tall i 3-gangen (3n + 2).

Vi kan få et tall i 3-gangen hvis vi adderer tre tall i 3-gangen: 3a + 3b + 3c = 3(a + b + c).

Vi kan få et tall i 3-gangen hvis vi adderer tre tall som er 1 mer enn et tall i 3-gangen: (3a + 1) + (3b + 1) + (3c + 1) = 3(a + b + c + 1).

Vi kan få et tall i 3-gangen hvis vi adderer tre tall som er 2 mer enn et tall i 3-gangen: (3a + 2) + (3b + 2) + (3c + 2) = 3(a + b + c + 2).

 

Hvis vi vil finne et sett med fem tall der det ikke er mulig å velge ut tre tall som i sum gir et tall i 3-gangen, må vi altså unngå at tre av tallene ikke er på samme form som vist over.

Det betyr at vi må ha minst ett tall på hver form. Problemet er at ett tall på hver form også gir ett tall i 3-gangen: 3a + (3b + 1) + (3c + 2) = 3a + 3b + 3c + 3 = 3(a + b + c + 1).

Det betyr at det alltid vil være mulig å plukke ut tre av fem vilkårlige tall som i sum blir et tall i 3-gangen, fordi det alltid vil være mulig å plukke ut tre tall på ulik form eller tre tall på lik form.

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Denne oppgaven ser ved første øyekast ut som en talloppgave som handler om tall i 3-gangen, men etter hvert blir det utviklet et bevis på hvorfor noe aldri kan forekomme. Å arbeide med bevis på denne måten kan føles meningsfullt for elevene, og de kan sitte igjen med en tilfredsstillende følelse av å ha oppnådd noe.

Mulig tilnærming

Det vil være veldig nyttig for elevene å arbeide med aktiviteten «Hvilke tall kan vi lage?» før de setter i gang med denne aktiviteten.

Introduser problemet på samme måte som Harald gjør i filmen, ved å be elevene om å velge ut fem vilkårlige tall. Lag en sirkel rundt de tre tallene som i sum blir et tall i 3-gangen, og skriv summen på siden.

Ikke røp hva som er spesielt med summen, men la elevene finne ut av det sammen. Få dem til å velge ut fem tall som gjør at du ikke får skrevet summen på siden hvis de har funnet ut hva som er spesielt med tallene. Undersøk etter hvert om alle vet hva som foregår.

Utfordre elevene til å finne et sett med fem tall der det ikke er mulig å velge ut tre tall som i sum gir et tall i 3-gangen. La dem arbeide i par eller i grupper, og foreslå at de skriver alle forslagene sine på en plakat på veggen (eller tavla) før de undersøker om det stemmer.

La det være lov til å bruke negative tall, så lenge du får lov til å lage tall i 3-gangen som er negative, og null.

På et eller annet tidspunkt vil elevene påstå at dette er umulig. I så fall kan du si for eksempel: «Hvis dere mener det er umulig, må det være en forklaring. Kan dere finne en forklaring så vi kan være sikre på at det er umulig?»

Etter at elevene har arbeidet en god stund, kan de samles i plenum for å dele ideer. Hvis det ikke allerede har dukket opp, deler du representasjonen til Karl fra aktiviteten «Hvilke tall kan vi lage?»

Alle tallene kommer inn under en av disse kategoriene:

Type A (tall i 3-gangen)

Type B (tall i 3-gangen + 1 (3n + 1))

Type C (tall i 3-gangen + 2 (3n + 2))

  • Hvilke kombinasjoner av A, B og C gir i sum et tall i 3-gangen?
  • Kan du finne et eksempel fra lista på tavla, der du ga meg en av de kombinasjonene?

La elevene tenke noen minutter.

«Fint, da trenger dere bare å finne en kombinasjon med fem tall med type A, B og C som ikke gir tre tall av hver type eller en av hver type (AAA, BBB, CCC eller ABC).»

La elevene tenke noen minutter.

«Det er umulig. Det vil alltid være en kombinasjon av enten AAA, BBB, CCC eller ABC!»

«Ok, men kan dere bevise det? Kan dere overbevise meg om at det er umulig?»

Mulig utvidelse

En utfordrende utvidelse av aktiviteten:

  • Kan du garantere at du kan plukke ut to av tre vilkårlige tall der summen blir et tall i 2-gangen?
  • Kan du garantere at du kan plukke ut tre av fem vilkårlige tall der summen blir et tall i 3-gangen?
  • Kan du garantere at du kan plukke ut fire av sju vilkårlige tall der summen blir et tall i 4-gangen?

Mulig støtte

Velg et sett med tre vilkårlige tall. De tre vilkårlige tallene vil alltid bestå av to tall som summert gir et tall i 2-gangen. Hvorfor er det slik?

Ressursen er utviklet av NRICH