Rask summering

Aktivitet

I videoen nedenfor regner Harald ut summen \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i\).

Bruk Haralds metode til å regne ut følgende:

  1.   \(\displaystyle\sum_{i=1}^{100}i\)
     
  2.   \(2+4+6\:+\:...\:+\:96+98+100\)
     
  3.   \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(4k+12)\)
     
  4.   \(37+42+47+52\:+\:...\:+\:102+107+112\)
     
  5.   Summen av de n første leddene i følgen: \(a,\:(a+d),\:(a+2d),\:(a+3d),\:...\)
     
  6.   Hvor mange ledd må vi ha med for at summen \(17+21+25\:+\:...\) skal blir større enn \(1000\)?
     
  7.   Summen av alle hele tall mindre enn \(1000\) som ikke er delelige med \(2\) eller \(3\).
     
  8.   Finn en følge av påfølgende heltall som er slik at summen av dem blir \(32\).

Starthjelp

  • Oppgave 1 og 3: Skriv ut uttrykkene som en sum slik at du ser leddene.
  • Kan dere bruke Haralds metode på summene i oppgaven?
  • Oppgave 5: Hva blir det n-te leddet i summen?
  • Hva må dere passe på for at det skal bli riktig? Hvor er det lett å gjøre feil?

Løsning

  1. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{100}i=5050\)
     
  2. \(2+4+6\:+\:...\:+\:96+98+100=2550\)
     
  3. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(4k+12)=1080\)
     
  4. \(37+42+47+52\:+\:...\:+\:102+107+112=1192\)
     
  5. \(\:\:\:\:a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)\:+\:...\:+\:(a+(n-1)d)\\ =na+\frac12(n^2-n)d\)
     
  6. \(17+21+25\:+\:...\:=17+(17+4)+(17+2\cdot4)+(17+3\cdot4) ...\)
    Bruker formelen fra oppgave 5:
    \(\begin{align} n \cdot 17 + \frac{1}{2}({n^2} - n) \cdot 4 &> 1000\\ n \cdot 17 + 2{n^2} - 2n &> 1000\\ 2{n^2} + 15n &> 1000\\ 2{n^2} + 15n - 1000 &> 0 \end{align}\)

    \(2{n^2} + 15n - 1000 = 0\:\:\:\text{gir}\:\:\:n = - 26,4\:\text{og}\:n = 18,9\)
    \(n=19\) er det minste tallet som gir en sum som er større enn 1000
    \(2\cdot19^2+15\cdot19=1007\)
     
  7. Tallfølgen for tall mindre enn 1000 som ikke er delelige med 2 eller 3, begynner slik:
    \(1, \:5, \:7, \:11, \:13, \:17,\: 19,\: 23, \:25, …,\: 991,\:995,\: 997\)
    Vi kan splitte følgen opp i to følger:
    \(1,\: 7,\: 13,\: 19, \:25,\: …,\: 997 \:\text{og} \:5, \:11,\: 17, \:23,\: …,\: 995\)

    \(\begin{array}{l} 1 + 7 + 13 + 19 + 25 \:+\: ... \:+\: 991 + 997 = \\ 1 + (1 + 6) + (1 + 2 \cdot 6) + (1 + 3 \cdot 6) \:+\: ... \:+ \:(1 + 165 \cdot 6) + (1 + 166 \cdot 6) = 83333 \end{array}\)

    \(\begin{array}{l} 5 + 11 + 17 + 23 \:+ \:... \:+ \:989 + 995 = \\ 5 + (5 + 6) + (5 + 2 \cdot 6) + (5 + 3 \cdot 6) \:+ \:... \:+\: (5 + 164 \cdot 6) + (5 + 165 \cdot 6) = 83000 \end{array}\)
    Summen er:
    \(83333+83000=166333\)
     
  8. Vi skal lete etter påfølgende tall, det vil si at differansen d i formelen fra oppgave 5 er lik 1.
    \(\begin{align}na + \frac{1}{2}({n^2} - n) \cdot 1 &= 32\\ \:\:\:\:\frac{1}{2}\left( {{n^2} + 2na - n} \right) &= 32{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}n + 2a - 1 \\ &= \frac{{64}}{n}{\rm{ }} \\ {\rm{ }}n\:\text{må være et partall}&\text{ siden både} \:n\: \text{og}\: a\: \text{er hele tall}\\ {n^2} + 2na - n &= 64\\ a &= \frac{{64 + n - {n^2}}}{{2n}}\end{align}\)

    Et partall (32) kan ikke skrives som en sum av to påfølgende tall, det vil si at n ikke kan være lik 2. Dessuten må n være et partall, minst lik 4:
    \(\begin{align} n&=4\quad&\Rightarrow\quad &&a&=\frac{13}2\\ n&=6\quad&\Rightarrow\quad &&a&=\frac{17}6\\ n&=8\quad&\Rightarrow\quad &&a&=\frac12\\ n&=10\quad&\Rightarrow\quad &&a&=\frac{13}{10}\end{align}\)
     

    n kan ikke være større enn 10. Det er umulig å lage en slik sum på mer enn 10 ledd som blir 32 til sammen.

    Konklusjon: Det finnes ingen følge av påfølgende tall som har sum 32.

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Denne oppgaven introduserer aritmetiske rekker, og den er lagt opp slik at elevene skal kunne oppdage sumformelen selv. Ved hjelp av et spesialtilfelle kan elevene se strukturen i utledningen av formelen, og forstå hvordan sumformelen for en generell aritmetisk rekke utledes.

Hvis det er nødvendig, må du forklare hva summetegnnotasjonen betyr. 

Mulig tilnærming

Du kan vise videoen der man ser utregningen av summen \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}i\), uten kommentarer. Eller du kan vise det samme på tavla.

Skriv så problemet \(\displaystyle\sum_{i=1}^{100}i\) på tavla, og be elevene finne denne summen med samme metode som Harald brukte i videoen.
Gi så elevene oppgavene 2, 3 og 4:

2.    \(2+4+6\:+\:...\:+\:96+98+100\)
3.    \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(4k+12)\)
4.    \(37+42+47+52\:+\:...\:+\:102+107+112\)

«Kan dere bruke samme metode på disse summene? Jeg vil straks gi dere en ny oppgave, og da må dere være sikre på at dere behersker en effektiv metode.»

Lytt etter om elevene snakker om mer generelle trekk i metoden, mens de løser oppgavene. Del løsninger i klassen, og sørg for at elevene forklarer hva de har tenkt og gjort.

Gi flere lignende oppgaver, og la noen elever løse dem på tavla uten å ha løst dem for seg selv først. Be dem forklare hva de tenker, og hva de gjør.

 Deretter skal elevene forsøke å finne en generell formel:
«Tenk dere at det første leddet er a, og at leddene øker med 1 for hvert ledd opp til det n’te leddet, som er lik L. Bruk samme metode som dere brukte med tallene, for å finne en formel for summen av rekken.»

Gi elevene tid til å arbeide i par og dele forslagene sine.

«Kan dere bruke formelen dere har funnet, hvis dere skal finne summen av de n første leddene i følgen a, (a + d), (a + 2d), (a + 3d) osv.?»

La elevene få tid til å diskutere før klassen samles og deler det de har gjort.

Til slutt, «Finn ut hvor mange ledd må vi ha med for at summen 17 + 21 + 25 … skal bli større enn 1000.»

Gode veiledningsspørsmål

Hva kan du si om summene av første + siste ledd, andre + nest siste ledd, osv. i en aritmetisk følge?

Hvordan kan du vite at alle disse summene vil bli like store?

Mulig utvidelse av oppgaven

Elevene kan finne summen av alle heltall som ikke er delelige med 2 og 3, og som er mindre enn 1000.

Ressursen er utviklet av NRICH