Det enkle liv

Aktivitet

Da Kevin forenklet uttrykkene nedenfor, ble han overrasket over at alle ga samme svar. Prøv selv!

\(\begin{array}{l} 3(x + 6y) + 2(x - 5y)\\ 4(2x - y) - 3(x - 4y)\\ - 2(-x - y) + 3(x + 2y) \end{array}\)

Her er fem ulike uttrykk:

\((x + y)\:\:\:\:\:(x + 2y)\:\:\:\:\:(x - 2y)\:\:\:\:\:(x + 4y)\:\:\:\:\:(2x + 3y)\)

  •  Velg to av uttrykkene, multipliser hvert uttrykk med rasjonale tall og trekk dem sammen. 
  • Hvilke rasjonale tall må velges for at summen av uttrykkene skal kunne trekkes sammen til 5x+8y?

 

Starthjelp

Hvis dere ikke kommer i gang, kan dere se hvordan Karl og Alise tenkte når de skulle kombinere uttrykkene \((x+2y)\) og \((2x+3y)\)

Karls forsøk

Karl multipliserte uttrykkene med a og b. Han valgte ulike verdier for a for å finne ut hvilke verdier for b som ga 5x. Så fortsatte han å tilpasse verdiene til a og b til han også fikk 8y.

 a   b  \(a(x+2y)+b(2x+3y)\)
5 0 \(5x+10y\)
4 \(\frac1{2}\) \(5x+9\frac1{2}y\)
3 1 \(5x+9y\)
2 \(\frac3{2}\) \(5x+8\frac1{2}y\)
1 2 \(5x+8y\)

 

Alises forsøk

Alise multipliserte uttrykkene med a og b slik som Karl. Men så multipliserte hun ut parentesene:

\(\begin{array}{l} a(x + 2y) + b(2x + 3y) = 5x + 8y\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ax + 2bx = 5x}\\ {2ay + 3by = 8y} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 2b = 5}\\ {2a + 3b = 8} \end{array}} \right.\\ \Rightarrow a = 1{\textrm{ og }} b = 2 \end{array}\)

 

For hvert av parene nedenfor finnes det hele tall som dere kan multiplisere parentesene med for å få \(5x+8y\):

\(\begin{array}{l} (x + y){\rm{\:\:\:\:\:\:\:\:}}(x + 2y)\\ (x + y){\rm{\:\:\:\:\:\:\:\:}}(x + 4y)\\ (x + 2y){\rm{\:\:\:\:\:\:}}(2x + 3y)\\ (2x + 3y){\rm{\:\:\:\:}}(x + y)\\ (x - 2y){\rm{\:\:\:\:\:\:}}(x + 4y)\\ (x + y){\rm{\:\:\:\:\:\:\:\:}}(x - 2y)\\ (x + 2y){\rm{\:\:\:\:\:\:}}(x + 4y) \end{array}\)

Løsning

Noen av løsningene:

\(\begin{array}{l} 3(x + 2y) + 2(x + y) = 5x + 8y\\ \\ 6(x + y) - (x - 2y) = 5x + 8y\\ \\ 4(x + y) + (x + 4y) = 5x + 8y\\ \\ (x + 2y) + 2(2x + 3y) = 5x + 8y \end{array}\)

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Å multiplisere ut parenteser og samle like ledd er nok ikke den mest spennende matematiske aktiviteten. Men det er viktig at disse ferdighetene blir innøvd så de sitter og kan gjøres rutinemessig, så slike problemer ikke tar fokuset bort fra mer spennende matematiske utfordringer.

En måte å unngå kjedsomheten på ved mange øvinger med liknende oppgaver, er å legge øvingene inn i et større problem som skal løses. Hensikten med denne oppgaven er å gi elevene rikelig med øving i rutinemessige operasjoner, samtidig som de løser et mer spennende problem.

 

Mulig tilnærming

Disse fire uttrykkene skal regnes ut og skrives så enkelt som mulig. Hvilket av dem skiller seg ut?
\(\begin{array}{l} 1.\:\:\:{\rm{ }}(3x + 4y) + 2(x + 2y)\\ 2.\:\:\:{\rm{ }}4(2x + 5y) - 3(x + 4y)\\ 3.\:\:\:{\rm{ }}3(2x + 3y) - (x - y)\\ 4.\:\:\:{\rm{ }}3(x + 3y) + (2x - y) \end{array}\)

Når elevene har multiplisert ut parentesene og trukket sammen like ledd, vil de se at uttrykk nr. 1, 2 og 4 alle blir lik \(5x+8y\), så nr. 3 skiller seg ut. De kan komme til å få \(5x+8y\) i stedet for \(5x+10y\) hvis de ikke utfører subtraksjonen \(-y\) riktig.

«Var det noe som var vanskelig her?»

«Gjorde dere noen feil? Eller holdt dere på å gjøre noe feil, men oppdaget det?»

«Hva må dere passe på når dere skal forenkle slike uttrykk?»

«Har dere noen gode råd til elever som arbeider med slike oppgaver?»

«I dag er utfordringen å kombinere to uttrykk slik at svaret blir \(5x+8y\). Dere har bare lov til å bruke disse fem uttrykkene: \((x + y)\:\:\:\:\:(x + 2y)\:\:\:\:\:(x - 2y)\:\:\:\:\:(x + 4y)\:\:\:\:\:(2x + 3y)\)

Dere kan velge hvilke som helst to av uttrykkene og legge dem sammen eller trekke dem fra hverandre.»

Eksempel med \((x+2y)\) og \((x+4y)\):
         
                         \(\square(x+2y)\pm\square(x+4y)=5x+8y\)

Problemet er å finne ut hvilke tall som skal stå i boksene.

Be elevene komme med forslag, og regn ut og forenkle uttrykket i fellesskap på tavla. 

Så ber du elevene kombinere andre par av uttrykk, og prøve å få \(5x+8y\) til svar.

Det er fint å la elevene arbeide i par. Når de har funnet en løsning, kan de kombinere to nye uttrykk.

Sju par av uttrykk bruker hele tall, mens i tre par må man bruke brøker. Alle eksemplene som er nevnt under Hint, bruker hele tall for a og b.

Følg med på hvordan elevene arbeider, og se om de bruker effektive strategier. Har noen valgt metodene til Karl eller Alise? Hvis ingen har brukt noen av deres metoder, kan dere dele dem i klassen.

Gi elevene tid, oppmuntre dem gjerne til å prøve både Karls og Alises metoder. Til slutt kan dere diskutere fordeler og ulemper med begge metodene, eventuelt andre metoder som de kan ha brukt.

Avslutt timen med en samtale om svarene og hvordan elevene har kommet fram til dem.

Mulig utvidelse

Elevene kan kombinere flere enn to av uttrykkene for å få \(5x+8y\).

Ressursen er utviklet av NRICH