Derivasjon

Aktivitet

Materiell til denne aktiviteten finner du i Kopioriginal 1 og Kopioriginal 2.

I Kopioriginal 1 finner du mange bilder som viser grafene til en del tredjegradsfunksjoner og disse funksjonenes deriverte og andrederiverte funksjoner. Din utfordring er å finne hvilke tre og tre grafer som hører sammen.

TIPS: Det kan være lurt å klippe ut alle bildene i arkene du skriver ut, da blir det lettere å legge sammen de tre (funksjon, derivert og andrederivert) som hører sammen.

I Kopioriginal 2 finner du skjema hvor du kan fylle ut opplysninger om tre og tre funksjoner som du mener hører sammen. Tallene i skjemaene vil være en hjelp til å vurdere om du har tenkt rett:

 

3.gradsfunksjon

 

den førstederiverte

den andrederiverte

x-verdi til nullpunkt

 

 

 

 

x-verdi til topp-/bunnpunkt

 

 

 

x-verdi til vendepunkt

 

 

 

 

 

Starthjelp

  • Hva er nullpunktene til en funksjon? Hvor på grafen finner du nullpunktene?
  • Hva er sammenhengen mellom topp- og bunnpunktene til en funksjon og nullpunktene til den deriverte funksjonen? Hvor på grafene finner du disse punktene?
  • Hva er sammenhengen mellom vendepunktet til en funksjon og nullpunktet til den andrederiverte funksjonen. Hvor på grafene finner du disse punktene?

 

Løsning

 

\(j(x)=2x^3-2x^2-2x-2\)

 

e)

j)

n)

 

\(i(x)=\frac 13 x^3-\frac12 x^2-2x+1\)

 

p)

a)

f)

 

\(h(x)=-0,07x^3+0,54x^2+0,2\)

 

k)

q)

h)

 

\(g(x)=x^3-5x^2+4x+1\)

 

g)

b)

i)

 

\(f(x)=x^3+2x^2-6x+2\)

 

d)

o)

m)

 

\(k(x)=-1,5x^3+3,5x^2-x\)

 

r)

l)

c)

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Denne aktiviteten utfordrer elevene til å tenke grundigere gjennom hva det de har lært om deriverte og andrederiverte innebærer grafisk. Den kan også passe som en oppfriskning av kunnskaper hvis man skal tilbake til funksjonslære og derivasjon etter en pause.

Det er viktig at elevene får en god forståelse av hva derivasjon er og hvilken informasjon den deriverte gir om en funksjon, før vi introduserer derivasjonsregler. Vi bruker den informasjonen grafene gir oss for å forstå begrepene, så kan regnereglene for derivasjon bygge på en god forståelse av hva derivasjon er.

Mulig tilnærming

La elevene samarbeide i par.

I denne aktiviteten finnes oppgavene kun på kopieringsoriginalene Kopioriginal 1 og 2, så disse må være skrevet ut på forhånd. Det kan være hensiktsmessig at bildene av grafer på kopioriginal 1 klippes ut før elevene begynner arbeidet. Da er det lettere å sortere dem.

Vil du bruke aktiviteten flere ganger, anbefaler vi å skrive ut på stivt papir og evt. plastlegge før dere klipper ut.
Sørg for at elevene forstår hva oppgaven går ut på, spesielt hvordan de skal bruke skjemaene i Kopioriginal 2. Her skal det fylles ut flere x-verdier. Det er umulig å lese av eksakte verdier på bildene av grafene som de får utdelt, men det er tilstrekkelig å anslå disse x-verdiene. Vi har nummerert skjemaene for løsning, til hjelp for hvert arbeidspar til å holde oversikt. Det er ikke meningen at alle trenger å bruke de samme numrene på funksjonene.

La elevene arbeide seg gjennom alle oppgavene. Oppsummer til slutt ved at elever får presentere sine løsninger. Legg spesielt vekt på at de begrunner hvorfor de tre grafene de har koblet sammen, virkelig handler om samme funksjon.

Det kan ved avslutningen være nyttig å vise en og en løsning som finnes under «Løsning-knappen» på tavla.

Gode veiledningsspørsmål

  • Kan du sortere kortene i tre bunker, en med tredjegradsfunksjoner, en med de deriverte funksjonene og en med de andrederiverte funksjonene? Hva er kjennetegnene du må se etter?
  •  Hva er nullpunktene til en funksjon? Hvor på grafen finner du nullpunktene?
  •  Hva er sammenhengen mellom topp- og bunnpunktene til en funksjon og nullpunktene til den deriverte funksjonen? Hvor på grafene finner du disse punktene?
  • Hva er sammenhengen mellom vendepunktet til en funksjon og nullpunktet til den andrederiverte funksjonen. Hvor på grafene finner du disse punktene?

Mulig utvidelse

Du kan la elevene lage tilsvarende oppgaver til hverandre. Det er ofte en ekstra utfordring til forståelsen å tenke «motsatt vei» av det man gjør når man løser en oppgave.

 

Ressursen er utviklet av Matematikksenteret