Hvor stor er rammen?

Aktivitet

Figuren er et kvadrat med 81 ruter. De røde rutene ytterst kaller vi rammen i kvadratet.

  1. Hvor mange brikker er det i rammen? Merk deg hvordan du tenker når du løser denne oppgaven. 
  2. Tegn en skisse av figuren og marker hvordan du har tenkt. 
  3. Bruk samme måten å tenke på for raskt å finne ut hvor mange ruter det vil være i rammene til kvadrater med 16, 25 og 36 ruter. Hvor mange ruter er det i rammen til et kvadrat med sidelengder 20? 
  4. Kan du tenke deg flere måter å finne dette antallet på? Kan du illustrere disse også? 
  5. Hvor mange ruter vil det være i rammen til et kvadrat med \(\mathbf{n^2}\) ruter?  

Starthjelp

  • Tenk gjennom hvordan du tenkte når du fant ut hvor mange ruter det var i rammen? Talte du en og en? Eller fant du en måte som var raskere? 
  • Hvordan vil du bruke metoden din til å finne antall ruter i ramma på kvadrater med areal 16, 25 eller 36? 

Løsning

Det er 32 ruter i rammen. I denne aktiviteten er vi opptatt av at det er mange ulike måter å telle rutene i rammen på. PÅ bildet ser du illustrasjoner og utregninger som viser flere forskjellige måter å tenke på. Har du tenkt på en av disse måtene?

I et kvadrat med n^2 ruter vil antall ruter i rammen være uttrykt slik, - i samme rekkefølge som de fem figurene ovenfor:

\(4\cdot n - 4 \)

\(2\cdot n + 2\cdot(n-2) \)

\(4\cdot(n-2) +4 \)

\(4\cdot (n-1) \)
\(n^2 – (n-2)^2 \)

 

Kan du regne på disse uttrykkene og kontrollere at de faktisk uttrykker det samme?

Antall ruter i rammen til kvadrater med areal 16, og sidelengder 4, er 12.
Antall ruter i rammen til kvadrater med areal 25, og sidelengder 5, er 16.
Antall ruter i rammen til kvadrater med areal 36, og sidelengder 6, er 20.
Antall ruter i rammen til kvadrater med sidelengder 20, er 76.

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven

Her er vi ikke så interessert i svaret på oppgaven, men i hvordan elevene tenker for å løse den. Oppgaven skal få dem til å legge merke til hvordan de har tenkt, og bruke egen og andres tankemåte til å løse oppgaven, og generalisere svarene med utgangspunkt i disse tankemåtene.

Mulig tilnærming

I denne aktiviteten gis alle oppgavene muntlig. La elevene arbeide individuelt til å begynne med.
Vis et bilde av kvadratet med 81 ruter hvor de ytterste røde rutene utgjør rammen. Og spør om hvor mange ruter det er i rammen. Etter en stund har sikkert de fleste kommet fram til 32. Før elevene får snakke med hverandre, må de få beskjed om å tenke igjennom og gjerne notere hvordan de tenkte da de fant dette antallet.
Fortell at man skal finne flest mulig måter å tenke på for finne svaret. La elevene forklare sine framgangsmåter, og fortsett til de ikke har flere framgangsmåter å forklare. Noter det de forklarer, både med ord og regnestykker. Det kan for eksempel se slik ut:

Hver side har 9 brikker. Jeg har telt hjørnene dobbelt, derfor må jeg trekke ifra 4. 

\(9 \cdot 4 – 4 = 36-4 =32 \)

To sider har 9 brikker og to sider har to brikker mindre, dvs. 7 

\(9 \cdot 2 + 7 \cdot 2= 18 + 14 = 32 \)

Jeg tar bort brikkene i hjørnene. Da har jeg fire ganger 7 brikker. Så legger jeg til de fire brikkene igjen. 

\(7 \cdot 4 + 4 = 28 + 4 =32 \)

Jeg kan dele hele rammen i fire ganger 8 brikker. Jeg begynner å telle på nytt ved hvert hjørne. 

\(8 \cdot 4 = 32 \)

Jeg ser to kvadrater. I det store har sidene 9 brikker, i det lille har sidene 7 brikker. Forskjellen mellom de to kvadratene er rammen. 

\(9^2 – 7^2 = 81 – 49 = 32 \)

 

Arbeidet kan fortsette med samarbeid i par, og de må ha skrivesaker tilgjengelig. Nå skal elevene prøve å lage en tegning som viser hvordan de har tenkt. De ulike tegningene må opp på tavla slik at alle kan se dem. Kan alle forstå tankegangen bak alle måtene å løse oppgaven på? Stemmer tegningene med forklaringene?
Be så alle om å finne ut hvor mange ruter det er i rammene til kvadrater med areal 16, 25 og 36, ved å bruke samme metode som de brukte i den første oppgaven. Be dem skrive ned regnestykkene slik de tenkte. Kan de se et mønster i regnestykkene og i antallene? Hvis de følger dette mønsteret, vil det stemme med at det er 32 ruter rundt kvadratet med sidelengder 9?
Kan elevene nå finne et uttrykk for antall ruter i rammen til et kvadrat med sidelengder n? De må se på utregningene de gjorde for kvadratene med sidelengder 4, 5, 6 og 9. Hvor i utregningen finner de tallet som er sidelengden av kvadratet? Det er dette tallet vi kan bytte ut med n. 
Dere kan få ulike mulige løsninger:

\(4\cdot n - 4 \)

\(2\cdot n + 2\cdot(n-2) \)

\(4\cdot(n-2) +4 \)

\(4\cdot (n-1) \)

\(n^2 – (n-2)^2 \)

 

Kan vi være sikre på at alle disse løsningene med n gir samme svar? 
La elevene regne på ett og ett uttrykk og se om alle virkelig er like.
Som avslutning kan alle bruke sine egne regneregler til å finne antall ruter i rammen til kvadrater med sidelengder 20, 45 og 100.

Gode veiledningsspørsmål

  • Tenk gjennom hvordan du tenkte når du fant ut hvor mange ruter det var i rammen? Talte du en og en? Eller fant du en måte som var raskere? 
  • Hvordan vil du bruke metoden din til å finne antall ruter i ramma på kvadrater med areal 16, 25 eller 36? 
  • Sammenlign regnestykkene du har gjort. Hvor finner du igjen sidelengden i kvadratet i regnestykkene? 

Mulig utvidelse

En videre utfordring er å lage andre figurer. For eksempel kan man lage rektangler der lengden er det dobbelte av bredden, og finne en formel for antall ruter i rammen når lengden er den ukjente størrelsen.

Mulig støtte

For elever som synes overgangen fra regnestykker med tall til bokstavuttrykk er vanskelig, kan det være en hjelp å sette opp utregningene under hverandre og markere tallet som viser sidelengden i kvadratet.
For eksempel hvis eleven har brukt strategien «Jeg tar bort brikkene i hjørnene. Da har jeg fire ganger 7 brikker. Så legger jeg til de fire brikkene igjen.» Da kan regnestykkene se slik ut:

Kvadrat med sidelengder \(9:4 \cdot (\color{red}9– 2) + 4 = 32 \)
Kvadrat med sidelengder \(4:4 \cdot (\color{red}4– 2) + 4 = 12\)
Kvadrat med sidelengder \(5:4 \cdot (\color{red}5– 2) + 4 = 16\)
\(6:4 \cdot (\color{red}6 -2) + 4 = 20 \)Kvadrat med sidelengder

Tallet som viser antall ruter i sidelengdene kan erstattes med n:
Kvadrat med sidelengder \(n:4 \cdot (\color{red}n– 2) + 4\)
Man kan gjøre tilsvarende med alle måtene å regne på.

Ressursen er utviklet av Matematikksenteret