Uoppstilte likningssett

Aktivitet

For å løse den første oppgaven trenger du små brikker eller knapper og fyrstikker.

Oppgave 1

Truls hadde griser og høner på gården sin. I følge Truls hadde de til sammen 24 øyne og 40 ben. 

To griser og tre høner
  1. Bruk brikkene og fyrstikkene og finn ut hvor mange griser og høner Truls hadde på gården sin.
  2. Prøv å oversette opplysningene til algebraspråket. Da får du to likninger, det kalles et likningssett. Løs oppgaven ved hjelp av likningene.
  3. Senere snek det seg noen stålormer inn på gården, men det totale antallet øyne og ben var det samme som før. Hvor mange høns, griser og stålormer er det på gården nå? 

Oppgave 2

Vi har skrudd sammen og veid noen skruer og muttere. 

Tre skruer og tre muttere

Det viser seg at to skruer og to muttere veier 39,0 g, mens en skrue og tre muttere veier 28,9 g.

  1. Hva veier en skrue, og hva veier en mutter?
  2. Prøv å sette opp likninger og løse oppgaven ved hjelp av dem.

Starthjelp

Til oppgave 1

  • La brikkene (knappene) være øyne og fyrstikkene være ben. Legg ut riktig antall øyne og ben og prøv å sette dem sammen slik at de kan representere griser og høner.
  • Hvor mange dyr er det på gården?
  • Hvor mange bein kan hvert dyr få?
  • Når du skal sette opp likninger: Hvor mange ukjente (bokstaver) vil du bruke?

Til oppgave 2

  • Tenk deg at du regner med et av settene med skruer og muttere flere ganger, slik at du kan sammenligne to sett som har like mange av enten skruer eller muttere.

Løsning

Oppgave 1

  1. Vi kan legge ut brikkene to og to, siden alle dyrene har to øyne hver. Med 24 øyne blir det 12 dyr.
    Så legger vi ut fyrstikker til ben. Først får alle dyrene to ben hver, det blir i alt 24 ben. Da er det 16 ben til overs. Disse legger vi ut to og to slik at noen dyr får fire ben. Vi ser at det er nok ben til at 8 dyr får fire ben.
    Da er løsningen at Truls har 8 sauer og 4 høner.
    Løsning med knapper og fyrstikker.
  2. Hvis vi skal oversette fra tekst eller bilde til algebra, må vi gi de ukjente størrelsene navn. I algebra bruker vi bokstaver som navn. De ukjente størrelsene er antall griser og antall høner, så vi må bruke to ukjente variabler.
    Vi velger å kalle antall griser og antall høner h.
    Første opplysning som skal "oversettes" er: Dyrene har til sammen 24 øyne.
    Grisene har til sammen 2g øyne og hønene har 2h øyne, så opplysningen gir likningen: \(2g+2h=24\) 
    Andre opplysninger er: Dyrene har til sammen 40 ben.
    Grisene har til sammen 4g ben og hønene har 2h ben, så denne opplysningen gir likningen: \(4g+2h=40\)
    Da har vi likningssettet:
    \(\begin{align}&\text{I} &\qquad2g+4h&=24\\ &\text{II} &\qquad4g+3h&=40 \end{align}\)
    Vi trekker likning I fra likning II, dvs. vi trekker venstresidene ifra hverandre og høyresidene ifra hverandre:
    \(\begin{align} \text{II - I}\qquad4g+2h-(2g+2h)&=40-24\\ 2g&=16\\ g&=8 \end{align}\)
    Løsning: Det er 8 griser og dermed 4 høner på gården til Truls.
  3. Dette problemet kan vi løse med brikkene og fyrstikkene, siden også stålormer har to øyne hver:
    Det går ikke an å få færre sauer siden vi skal ha plass til 40 ben. Men vi kan flytte ben fra hønene sammen slik at det blir noen dyr uten ben. Da ser vi at der er flere mulige løsninger:
    Vi kan flytte et par ben fra et dyr med to ben til et annet. Da blir det én sau mer, en høne mindre og én stålorm:
    9 sauer, 2 høner og 1 stålorm.
    Vi kan flytte enda to ben fra et dyr med to ben til et annet. Da blir det 10 sauer og 2 stålormer, men ingen høner. Vi kan diskutere om vi vil godkjenne denne løsningen.
     

Oppgave 2

  1. Grafisk løsning av oppgaven.
    Løsning: En skrue veier 14,8 g, og en mutter veier 4,7g.
  2. Her er det vekta av en skrue og en mutter som er de ukjente størrelsene, så vi må bruke bokstaver for disse:
    Vi velger at vekta av en skrue er s gram og vekta av en mutter er gram.
    "To skruer og to muttere veier 39,0 g" gir likningen: \(2s+2m=39,0\)
    "En skrue og tre muttere veier 28,9 g" gir likningen: \(s+3m=28,9\)
    Vi får likningssettet:
    \(\begin{align} &\text{I} &\qquad 2s+2m&=39,0\\ &\text{II} &\qquad s+3m&=28,9 \end{align}\)

    Vi så i oppgave 1 at vi løste problemet når vi hadde samme antall av den ene ukjente (2 skruer) i begge likninger. Så vi ganger alle ledd i likning II med 2:
    \(\begin{align} &\text{I} &\qquad 2s+2m&=39,0\\ &\text{II} &\qquad 2s+6m&=57,8 \\ &\text{II - I} &\qquad 2s+6m-(2s+2m)&=57,8-39,0\\ &&4m&=18,8\\ &&m&=4,7\\ &\text{I} &2s+2\cdot4,7&=39,0\\ &&2s&=39,0-9,4\\ &&2s&=29,6\\ &&s&=14,8 \end{align}\)
    Løsning: En mutter veier 4,7 g, og en skrue veier 14,8 g.

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Målet med denne aktiviteten er å introdusere løsning av likningssett gjennom arbeid med konkreter. La elevene få se at de kan løse problemet først uten å ha lært noen regneregler for likningssett. Så kan tenkningen rundt løsning av likningssett knyttes til måten de har løst det praktiske problemet på.

Mulig tilnærming

La elevene arbeide parvis, og be dem om å notere underveis i arbeidet.

La alle få et tilstrekkelig antall brikker (knapper) og fyrstikker, og presenter oppgaven for dem: Bonden Truls har griser og høner, de har til sammen 24 øyne og 40 bein. Hvor mange av hvert slag?

Gi elevene tid til å prøve seg fram, legge ut materiellet og diskutere. Følg med og se hvilke strategier de har. Hvis noen er tidlig ferdig, kan de utfordres til å prøve å sette opp og løse likninger og se om de får samme løsning.

Når de fleste har en løsning, kan klassen samles til fellessamtale. Har alle funnet en løsning? Har alle funnet samme løsning? Hvis de har kommet til ulike løsninger, er det fint å slippe til alle løsningene. Ikke fortell hva som er rett og galt, men la det bli en diskusjon blant elevene. Hvis noen innser at de har tenkt feil, kan de forklare hva de tenkte feil? La noen forklare hvordan de fant sin løsning. Og utfordre dem til å argumentere for hvorfor deres løsning er riktig. Kan det finnes flere enn en løsning? Hvorfor/hvorfor ikke?

Så utfordres alle til å finne en måte å løse dette problemet ved hjelp av likninger. Når de har fått tenkt seg om, kan dere få opp alle forslag. Hvilke størrelser ville de bruke som ukjente i likningen? Hvor mange ukjente ville de bruke? Kan vi løse en likning med to ukjente? Hjelper det hvis vi har to ulike likninger med de samme to ukjente? Hvordan oversetter vi fra tekst til likning?

Vi kommer til å få to likninger med to ukjente. I begge likningene har vi 2 ganger antall høner, men ikke samme tall ganger antall griser. Vi ser at hvis vi bruker addisjonsmetoden, dvs. trekker den ene likningen fra den andre, kan vi finne hvor mange griser som bor på gården. Denne metoden passer best til måten vi løser oppgaven på ved hjelp av konkreter.

Hvis noen bruker en annen metode, kan dere i fellesskap også se på den metoden. Hva er likt, og hva er forskjellig? Kommer de fram til samme løsning? Hvorfor er begge metoder riktig? Hvilken metode er mest effektiv?

Til slutt kommer problemet med stålormene. Er det da mulig å løse oppgaven med likningssett? Eller må det litt prøving og resonnering til? Dere kan komme til å få en diskusjon om det er en eller to løsninger av dette problemet (kan man godta en løsning med 0 høner?).

Når arbeidet med oppgave 1 er gjort, følges den opp av oppgave 2. Den kan løses med opplysningene i som oppgaven. Alternativt kan dere ha tilgjengelig skruer, muttere og vekter (med nøyaktighet på 1,0 g) til alle arbeidsparene. Læreren må da på forhånd ha satt dem sammen slik oppgaven sier, evt. finne på andre kombinasjoner. Hvis dere velger en slik løsning, får elevene til slutt kontrollere løsningene ved å veie en skrue og en mutter hver for seg.

Arbeidet gjennomføres på tilsvarende måte med forrige problem.

Til slutt må det oppsummeres, slik at dere prøver å unngå at noen drar med seg misforståelser:

  • I disse problemene må vi bruke to ukjente, og da må vi ha nok opplysninger/ to likninger for å løse dem.
  • Vi kan løse problemene på ulike måter, ved å prøve oss fram, ved å bruke konkreter eller tegne eller ved å sette opp likninger.  Vi må kunne se sammenhengen mellom disse framgangsmåtene.
  • Når det gjelder løsning av likningssett ved regning, er det addisjonsmetoden som ligger nærmest det vi gjør når vi løser problemet praktisk. Sørg for at alle får se hvordan man kan skrive en løsning slik at den er forståelig for andre som skal lese den.

Gode veiledningsspørsmål

Til oppgave 1

  • La brikkene (knappene) være øyne og fyrstikkene være ben. Legg ut riktig antall øyne og ben og prøv å sette dem sammen slik at de kan representere griser og høner.
  • Hvor mange dyr er det på gården?
  • Hvor mange bein kan hvert dyr få?
  • Når du skal sette opp likninger: Hvor mange ukjente (bokstaver) vil du bruke?

Til oppgave 2

  • Tenk deg at du regner med et av settene med skruer og muttere flere ganger, slik at du kan sammenligne to sett som har like mange av enten skruer eller muttere.

Mulig utvidelse

Læreverkene tilbyr mange tilsvarende problemer, både uoppstilte og oppstilte likningssett. La elevene få bruke den metoden de er mest fortrolig med, addisjonsmetoden eller innsettingsmetoden. Så kan de etter hvert utvide repertoaret av løsningsmetoder.

Ressursen er utviklet av Matematikksenteret