Ni eller ti

Problem

Overbevis deg selv om at du har større sannsynlighet for å få 9 enn 10 når du triller to terninger og legger sammen tallene du får.
Om du triller tre terninger, er det da størst sannsynlighet for å få 9 eller 10?
Kan du finne nøyaktig sannsynlighet for å få 9, og for å få 10, om du triller tre terninger?

Løsning

Med to terninger er det 4 forskjellige kombinasjoner som gir 9:

\(\begin{align}9&=3+6\\9&=6+3\\9&=4+5\\9&=5+4\end{align}\)

Om du får 3 på den ene terningen og 6 på den andre, vil ikke det være det samme som å få 6 på den ene terningen og 3 på den andre.
Det finnes bare 3 kombinasjoner som gir 10, fordi 5 + 5 ikke kan snus slik som andre tiervenner.
Med tre terninger kan vi gå systematisk til verks for å finne alle kombinasjoner som gir 9. Om vi begynner med 1 på den første terningen, og fortsetter med det lavest mulige tallet på den andre terningen, kan vi få oversikt over alle kombinasjoner uten å telle noen kombinasjoner flere ganger. Vi må passe på at tallene aldri blir mindre når vi lister dem opp.

1, 1 er en umulig kombinasjon, fordi det tredje tallet må bli 7.

1, 2, 6

1, 3, 5

1, 4, 4

1, 5 vil ikke fungere fordi det neste tallet vi trenger, er 3. 3 er mindre enn 5, og tallet blir dermed mindre enn det forrige. Det betyr at vi har tatt med kombinasjonen 1, 5, 3 tidligere, bare i en annen rekkefølge.

2, 2, 5

2, 3, 4

3, 3, 3

Mulige tripler som gir sum 9 og 10, ser du i tabellen:

 

9 i sum

10 i sum

3 ulike tall

1, 2, 6
1, 3, 5
2, 3, 4

1, 3, 6
1, 4, 5
2, 3, 5

2 like tall

1, 4, 4
2, 2, 5

2, 2, 6
2, 4, 4,
3, 3, 4

Bare like tall

3, 3, 3

 

Det finnes 3 måter å få 9 eller 10 på ved å bruke 3 forskjellige tall, og minst 2 måter å få 9 eller 10 på ved å bruke 2 forskjellige tall. Vi ser at det finnes 1 kombinasjon mer som gir 10 med 2 like tall.
I tillegg er det 1 måte å få 9 på med 3 like tall.

Vi ser at det finnes like mange talltripler som gir 9 og 10, men de som gir 10, kan kombineres på flere forskjellige måter. Det vil derfor være større sannsynlighet for å få 10 enn for å få 9.

Vi kan regne ut hvor mange kombinasjoner det finnes for hver talltrippel.

Hver talltrippel med 3 ulike tall kan kombineres på \(3\cdot2\cdot1=6\) ulike måter. Hver talltrippel med 2 like tall kan kombineres på 3 ulike måter. Hver talltrippel med 3 like tall kan kombineres på 1 måte.

Vi ser at vi kan få 9 ved \(3\cdot6+2\cdot3+1=25\) forskjellige kombinasjoner. Vi ser at vi kan få 10 ved \(3\cdot6+3\cdot3=27 \)forskjellige kombinasjoner.

For å finne nøyaktig sannsynlighet for 9 og 10 må vi vite antall mulige kombinasjoner med tre terninger. Det finner vi ved å regne ut \(6^3=216\).

Siden vi vet hvor mange kombinasjoner som gir 9 og 10, kan vi finne sannsynligheten for hver av dem:
\(\begin{align} P(9)=\frac{25}{216}=0,116=11,6\:\% \\ \\ P(10)=\frac{27}{216}=0,125=12,5\:\%\end{align}\)

 

 

Ressursen er utviklet av NRICH