3 x 3 areal

Problem

Hvilken av de fargede figurene har et areal som er ulikt de fire andre?

Fem rutenett med fargelagte mangekanter.

Starthjelp

  • Kan du finne arealet av de fargede områdene, eller arealet av de hvite områdene utenfor?
  • Kan du halvere arealet av noen rektangler?

Løsning

Vi kan studere de hvite arealene i alle figurene:

A\(\frac{3\cdot1}2+\frac{3\cdot3}2=\frac32+\frac92=\frac{12}2\)

B\(\frac{3\cdot2}2+\frac{3\cdot2}2=\frac62+\frac62=\frac{12}2\)

C\(\frac{1\cdot2}2+\frac{2\cdot2}2+1\cdot3=\frac22+\frac42+\frac62=\frac{12}2\)

D\(\frac{3\cdot2}2+\frac{3\cdot2}2+\frac{1\cdot1}2=\frac62+\frac62+\frac12=\frac{13}2\)

Trenger ikke regne ut E, da vi har funnet ut at er annerledes. Det hvite området i er en halv enhet mindre enn de øvrige. 

Fra beregningene ovenfor kan vi si at de fargede figurene i A, B, C og E har alle areal 3. Arealet av den fargede figuren i D er en halv enhet mindre enn de øvrige.
 

Vi kan også tegne eller klippe opp arealene i figurene for å se hvor mange ruter hver av dem vil fylle:

Figur A: Figuren vil fylle 3 ruter, den har areal 3.

Grafisk løsning av oppgaven.

Figur B: Figuren vil fylle 3 ruter, den har areal 3.

Grafisk løsning av figur B.


Figur C: Figuren vil fylle 3 ruter, så arealet er 3.

Grafisk løsning av figur C.


Figur D: Hvis vi deler opp denne figuren og prøver å fylle ut flest mulig ruter, ser vi at den bare fyller opp \(2\frac12\) rute. Denne figuren må derfor skille seg fra de andre, siden figur også fyller 3 ruter.

Grafisk løsning av figur D.

 

Ressursen er utviklet av NRICH