Rotasjonsmønster

Aktivitet

Her er et interaktivt tegneark som lager rotasjonsmønster.

Du kan flytte på de blå punktene for å forandre formen på figurene, og du kan velge rotasjonsvinkel med glideren oppe til høyre. Figurene roteres om et punkt i midten av mønsteret. Hvis du for eksempel velger en rotasjonsvinkel på 60˚, vil figuren du har tegnet, bli kopiert for hver gang rotasjonen har beveget seg 60˚ i rotasjonsretningen. Merk deg at rotasjonsbevegelsen går svært mange runder, den stopper ikke ved 360˚.

Etter at du har eksperimentert litt med mulighetene i appleten, kan du se på mønstrene nedenfor og prøve å gjenskape dem så nøyaktig som mulig. Du kan skrive ut oppgaven med alle bildene fra dette arket.

8 ulike figurer, ligner på stjerner
Figur 1

Hvordan fant du ut hvilken rotasjonsvinkel du skulle bruke for å tegne hver av disse figurene?

For å lage denne figuren tegnet Karl først en drage, så valgte han en rotasjon på 144˚. 

Alise brukte en vinkel på 216˚ og fikk nøyaktig samme figur!

Hvilke andre vinkler kunne de ha brukt?

Finnes det flere mønster som kan tegnes med mer enn én vinkel?

10-kantet stjerne
Figur 2

Hva er sammenhengen mellom vinkelen og antall småfigurer som blir kopiert i hvert mønster?
 

Starthjelp

Det kan være en god idé å begynne med å prøve å finne ut hvilken rotasjonssymmetri du finner i figurene i oppgaven.

For eksempel har denne figuren en rotasjonssymmetri av orden 4. Det betyr at den er kopiert 4 ganger i løpet av en rotasjon på 360˚. Hvor mange grader må da hver rotasjon være på?

4 Trekanter i formasjon som stjerne
Figur 3

Løsning

Trekant
Figur 4
Stjerne med 10 kanter
Figur 5
Sirkel bestående av parallellogrammer
Figur 6
Sirkel bestående av 4 trekanter
Figur 7
Sagtakket sirkel
Figur 8
Sirkel bestående av 8 trekanter
Figur 9
Sirkel bestående av 6 parallellogrammer
Figur 10
Sirkel bestående av 8 boomeranger.
Figur 11

Når det gjelder figuren nedenfor, har den en rotasjonssymmetri av orden 5. Det betyr at den like figuren er kopiert 5 ganger i løpet av et omløp på 360˚. Da er avstanden 360˚ : 5 = 72˚ mellom hver kopi. Dette er den minste vinkelen som genererer mønsteret, men vi får samme figur hvis vi velger vinkler som er multipler av 72˚, som 144˚ og 216˚.

Stjerne med 10 kanter
Figur 2

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Dette problemet ser i første omgang ut til å handle om vinkler og rotasjoner. Men ettersom elevene studerer problemet grundigere, ser de at det også handler om faktorer, multipler og primtall. Bildene og det interaktive verktøyet vil stimulere elevens nysgjerrighet.

Mulig tilnærming

Begynn med å vise elevene dette bildet som du kan finne i PowerPoint her.

Sirkel bestående av 6 flagg.
Figur 12

«Se nøye på dette bildet. Hva legger dere merke til?»

La elevene få tenke seg om litt alene, og så kan de diskutere to og to. 

«Hvordan tror dere dette bildet har blitt tegnet?»

Gi elevene tid til å tenke og diskutere i par igjen, før dere deler ideene i hele klassen.

Hvis dere har datamaskiner, er det fint å introdusere den interaktive appleten fra Aktivitet nå. 

«Bildet dere så, var laget av denne rotasjonsappleten. Samarbeid to og to, eksperimenter med programmet og prøv å gjenskape bildet jeg viste dere.»

Mens elevene kommer i gang, kan du dele ut dette oppgavearket med åtte figurer til som skal tegnes.

Gå rundt i klassen og lytt til elevenes samtaler mens de arbeider. Lytt etter hvilke ideer de har, og hvilke strategier de bruker. Så snart de fleste har klart å gjenskape noen av figurene, kan klassen samles, og du kan be noen av parene dele det de har tenkt og erfart. Så kan du rette oppmerksomheten mot siste del av oppgaven:

«Hva er sammenhengen mellom vinkelen og antall småfigurer som blir kopiert i hvert mønster?»

«Snart vil jeg lage en mangekant og velge en vinkel for rotasjonen. Så vil jeg at dere skal forutsi hvor mange kopier av mangekanten som kommer til å bli tegnet før vi lager den endelige figuren.»

Gi elevene tid til å eksperimentere og prøve å finne sammenhengen mellom rotasjonsvinkel og antall figurer som gjentas. Få dem spesielt til å studere siste del av problemet, der Karl og Alise har tegnet samme rotasjonsfigur ved å bruke ulike vinkler.

I den siste oppsummeringen i samlet klasse kan du be dem forutsi hvor mange kopier som blir tegnet hvis du velger vinkelen 160˚.

«Det vil bli 9 kopier fordi den høyeste felles faktoren i 160 og 360 er 40, og 40 går 9 ganger opp i 360.»

Hva hvis vinkelen er 305˚?

«Det vil bli 72 kopier, for den største felles faktoren i 305 og 360 er 5, og 5 går 72 ganger opp i 360.»

Gode veiledningsspørsmål

  • Hvordan tenker du for å finne riktig rotasjonsvinkel?
  • Hvilke mønstre kan tegnes hvis du velger mer enn én rotasjonsvinkel?
  • Er det «familier» av vinkler som alle gir en spesiell rotasjonssymmetri?
  • Hvordan kan du kategorisere disse «familiene»?
  • Hva er sammenhengen mellom vinkelen og antall kopier?

Mulig utvidelse

Utfordre elevene til å finne ut hvorfor antall kopier henger sammen med den høyeste felles faktoren mellom rotasjonsvinkelen og 360˚.