Maxikant

Aktivitet

For å arbeide med dette problemet kan du skrive ut denne kopioriginalen.

Alternativt kan du bruke dette interaktive tegnearket.

Tegn noen mangekanter mellom punktene i et 3 x 3-nett.

Punkter i ett 3x3-nett
Figur 1

Hva er det største antall sider en mangekant i dette rutenettet kan ha?

Hva med et 3 x 4-rutenett, eller et 3 x 5-rutenett?

Og hva med et 3 x n-rutenett?

Kan du forklare et mønster som viser hvordan antall sider øker?

Punkter i ett 3x10-nett
Figur 2

Undersøk noen rutenett som har fire prikker i høyden.

Hva er største antall sider i en mangekant i et 4 x n-rutenett?

Kan du forklare hvordan du vet at du har funnet det største mulige antallet?

Punkter i ett 4x10-nett
Figur 3

Hva er det største antall sider i en mangekant i et 6 x 6-rutenett?

Og i et 6 x n-rutenett?

Starthjelp

  • Vil systemet bli forskjellig, avhengig av om n er et partall eller et oddetall?

Løsning

I et 3 x 3-rutenett har mangekanten høyst 7 sider.

I et 3 x 4-rutenett har mangekanten høyst 10 sider, og i et 3 x 5-rutenett har den høyst 13 sider.

I et 3 x n-rutenett har mangekanten høyst 3 ∙ n – 2 sider (dvs. antall prikker minus 2).

En løsning kan for eksempel se slik ut:

5 mangekanter i ett rutenett
Figur 4

En løsning med fire prikker i høyden kan se slik ut:

4 mangekanter i ett rutenett.
Figur 5

Her er antall sider lik 4n, dvs. antall prikker.

Hvis vi har 5 x n prikker, vil antall sider bli lik 5n – 2 (antall prikker minus 2).

Hvis vi har 6 x n prikker, vil antall sider bli lik 6n (antall prikker).

Her er to løsninger i et 6 x 6-rutenett:

Mangekant i et rutenett
Figur 6
Mangekant i et rutenett
Figur 7

Vi vil se på mangekanter i 6 x n-rutenett der n er et partall:

3 mangekanter i rutenett
Figur 8

Og i 6 x n-rutenett der n er et oddetall:

3 mangekanter i rutenett
Figur 9

Mønsteret i 6 x n-rutenettet er tegnet litt forskjellig avhengig av om n er partall eller oddetall. Men i begge tilfeller øker antall sider med 12 fra den ene figuren til den neste, dvs. fra 6 x n til 6 x (n + 2). Økningen er markert med røde streker på figurene nedenfor.

n er partall:                     n er oddetall:

4 mangekanter i rutenett
Figur 10