Omkretsens muligheter

Aktivitet

Se filmen nedenfor.

Hvor mange andre omkretser kan du finne til rektangler med areal \(24cm^2\)?

Spill av filmen nedenfor for å se hva de gjorde etterpå.

Vurder følgende spørsmål:

  • Hvilke andre oddetallsomkretser kan du lage hvis arealet er \(24 cm^2\)?
  • Hva er den minste omkretsen du kan lage hvis arealet er \(24 cm^2\)?
  • Hva er den største omkretsen?
  • Hvilke omkretser mellom den minste og den største er det mulig å lage?

Mer generelt:

  • Er det mulig å lage et rektangel med en omkrets som ikke er et helt tall, mens arealet er heltallig?
  • Er det mulig å lage et rektangel der omkretsen er heltallig, mens arealet ikke er det?
     

Starthjelp

Se for deg to øyer med areal 24, den ene med størrelse \(6\cdot4\), den andre \(12\cdot2\).

Hvilken øy har mest land langs havet?

Løsning

Noen mulige rektangler med areal \(24 cm^2\):

Størrelse Omkrets
\(4\:cm\cdot6\:cm\) 20 cm
\(3\:cm\cdot8\:cm\) 22 cm
\(2\:cm\cdot12\:cm\) 28 cm
\(1,5\:cm\cdot16\:cm\) 35 cm
\(0,5\:cm\cdot48\:cm\) 97 cm
\(0,25\:cm\cdot96\:cm\) 192,5 cm
\(0,000001\:cm\cdot24000000\:cm\) 48 000 000,000002 cm
\(0,0000001\:cm\cdot240000000\:cm\) 480 000 000,0000002 cm

 

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Mange matematiske oppgaver om areal og omkrets har fokus på en av dem om gangen. I denne oppgaven arbeides det med begge to samtidig ved at elevene skal finne forskjellige mulige omkretser av et rektangel med gitt areal.

Mulig tilnærming

Denne kopioriginalen kan være til nytte.
Oppgaven kan føre til mange forskjellige spørsmål som kan utforskes på ulike måter. Du kan for eksempel se de to filmene på oppgavesiden, og introdusere oppgaven på en lignende måte:
«Jeg ser for meg et rektangel med areal \(24\:cm^2\). Hva kan omkretsen være?» Elevene kan notere svarene sine en liten stund før du organiserer de innledende løsningene deres i en tabell på tavla, for eksempel slik:

Regnestykke om kvadrat

«Se på dimensjonene/størrelsene og omkretsene. Hva legger dere merke til?»

Noter funn på tavla, for eksempel:

  • Alle omkretser er partall.
  • Omkretsene blir større og større.
  • Summen av rektanglets dimensjoner (lengde og bredde) er halvparten av omkretsen.
  • Alle dimensjoner er faktorer i 24.
  • Når omkretsen blir større, blir rektanglene «smalere/tynnere/lengre».

«Det er fint om dere kan forklare det som dere har lagt merke til. Bruk noen minutter der dere tenker på egen hånd, før dere snakker med en partner og samarbeider om å finne forklaringer. Stemmer forklaringene for rektangler med andre omkretser?»

Etter litt diskusjon kan du si: «Jeg tenker på et rektangel som har et areal på \(24 cm^2\) og en omkrets på 35 cm. Kan dere bruke kunnskapen deres om rektangler til å finne dimensjonene på rektanglet mitt?» Bruk litt tid på en diskusjon om hvordan elevene kan utvikle en strategi for å løse problemet ut fra sine egne argumenter.

Sett elevene sammen i par, og be dem om å tenke på et rektangel hver, før de regner ut arealet og omkretsen av det. Elevene deler deretter dette med partneren sin, og utfordringen er å finne dimensjonene til hverandres rektangel. Gjør dette noen ganger, og be elevene holde oversikt over resultatene sine, for eksempel i en tabell. Til å begynne med kan det være lurt å be dem velge rektangler der areal og omkrets kan regnes ut i hodet.

Dette er en god mulighet for elevene til å prøve å forbedre ulike strategier. Selv om det finnes algebraiske metoder, kan prøving, feiling og forbedring gi løsninger ganske raskt og effektivt.
Arbeidsøkta kan avsluttes med en utfordring som: «Jeg tenker på et rektangel med omkrets 21 og areal 20. Hva er dimensjonene i rektanglet mitt?»

Gode veiledningsspørsmål

  • Er omkretsen til rektangler alltid partall?
  • Hvorfor blir rektangler «tynnere» når omkretsen blir større (for rektangler med samme areal)?

Mulig utvidelse

Her er noen oppfølgingsspørsmål:

  • Hvilke andre oddetallsomkretser kan du lage om arealet er \(24 cm^2\)?
  • Hva er den minste omkretsen du kan lage om arealet er \(24 cm^2\)?
  • Hva med den største omkretsen?
  • Hvilke omkretser mellom den minste og den største er det mulig å lage?

Mer generelt:

  • Er det mulig å lage et rektangel med en omkrets som ikke er et helt tall, mens arealet er heltallig?
  • Er det mulig å lage et rektangel der omkretsen er heltallig, mens arealet ikke er det?

Mulig støtte

Elevene kan arbeide med rektangler som har fast omkrets, før de arbeider med fast areal.