Store Fibonacci

Problem

I en følge av positive heltall er hvert ledd etter de to første leddene lik summen av de to foregående.
I én slik følge er det femte leddet 2004.

Hva er den største mulige verdien av det første leddet?

Starthjelp

Prinsippet i Fibonacci-tallfølger:

  • Tallfølgen som er kjent som Fibonaccis tallfølge begynner med tallene 1 og 1. Det neste tallet er summen av de to foregående, 1+ 1 = 2. Det fjerde tallet er summen 1 + 2 = 3, osv.
  • Fyll ut med de seks neste tallene i følgen: 1 – 1 – 2 – 3 – …….. - …….. - …….. - …….. - …….. - ……..
  • I tallfølgen i oppgaven må man starte med andre tall enn 1 og 1. Siden vi ikke kjenner starttallene, kan vi la a og b representere dem.
  • Kan du uttrykke tallene videre i følgen ved hjelp av a og b?
  • Hvordan vil da det femte leddet se ut?

 

Løsning

Hvis vi lar de to første tallene i følgen kalles a og b, blir de fem første leddene:
a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b   
2a + 3b = 2004
Bade a og b skal være hele tall, og hvis a skal være så stor som mulig, må b være så liten som mulig.
Hvis b = 1 vil 2a = 2001, men det går ikke side a er et helt tall. Så b kan ikke være lik 1.
Hvis b = 2 vil 2a = 1998, og da er a = 999.

De fem første leddene i følgen blir
999 – 2 – 1001 – 1003 – 2004