Siste siffer

Problem

Hva er siste siffer i summen: 

Thumbnail

Starthjelp

  • Lag en oversikt over hvilke siste siffer du får i 72, 73, 74, osv. Finner du et mønster?
  • Gjør tilsvarende med 82, 83, 84, osv.

Løsning

\(7^1=7\) Tallet ender på 7
\(7^2=49\) Tallet ender på 9
\(7^3=49\cdot7=343\) Tallet ender på 3 \((9\cdot7=63)\)
\(7^4=343\cdot7=2401\) Tallet ender på 1 \((3\cdot7=21)\)
\(7^5=2401\cdot7=16807\) Tallet ender på 7 \((1\cdot7=7)\)

Disse fire tallene vil gjentas som siste siffer: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ...

Eksponenten 2016 er et tall i 4-gangen, så 72016 vil ende på samme siffer som 74, dvs. 1.

 

Tilsvarende for 8:

\(8^1=8\) Tallet ender på 8
\(8^2=64\) Tallet ender på 4
\(8^3=64\cdot8=512\) Tallet ender på 2 \((4\cdot8=32)\)
\(8^4=512\cdot8=4096\) Tallet ender på 6 \((2\cdot8=16)\)
\(8^5=4096\cdot8=32768\) Tallet ender på 8 \((6\cdot8=48)\)

Disse fire tallene vil gjentas som siste siffer: 8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 6, ...

Eksponenten 2016 er et tall i 4-gangen, så 82016 vil ende på samme siffer som 84, dvs. 6.

 

Da vil summen 72016 + 82016 ende på 1 + 6 = 7 

 

Ressursen er utviklet av NRICH