Produktet er et kvadrattall

Problem

Hva er det minste heltallet n som gjøre produktet
\((2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)...(n^2-1)\)
til et kvadrattall?

Starthjelp

  • Hvilke tall blir de første faktorene? Faktoriser disse tallene.
  • Du kan prøve å fortsette på denne måten. Da får du et produkt av mange faktorer (som alle er primtall). Hvordan kan du avgjøre om et slikt produkt blir et kvadrattall?
     

Eller:

  • Vi kan bruke regelen \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
    \(2^2-1=1\cdot3\)
    \(3^2=2\cdot4\)
    Osv.
  • Hvor mange faktorer må du ta med før du får et antall faktorer som blir et kvadrattall?
     

Løsning

Vi bruker konjugatsetningen, prøver oss litt fram og teller hvor mange primtallsfaktorer vi får:

\(\begin{array}{l} ({2^2} - 1)({3^2} - 1)({4^2} - 1) \cdot\: ...\: \cdot ({8^2} - 1)\\ = (1 \cdot 3){\rm{ }}(2 \cdot 4){\rm{ }}(3 \cdot 5){\rm{ }}(4 \cdot 6){\rm{ }}(5 \cdot 7){\rm{ }}(6 \cdot 8){\rm{ }}(7 \cdot 9)\\ = (1 \cdot 3){\rm{ }}(2 \cdot 2 \cdot 2){\rm{ }}(3 \cdot 5){\rm{ }}(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3){\rm{ }}(5 \cdot 7){\rm{ }}(2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2){\rm{ }}(7 \cdot 3 \cdot 3)\\ = {2^{10}} \cdot {3^6} \cdot {5^2} \cdot {7^2}\\ = {({2^5} \cdot {3^3} \cdot 5 \cdot 7)^2} \end{array}\)

Dette er et kvadrattall fordi antall ganger hvert av primtallene er faktor, er et partall. Så hvis vi lar n = 8, blir produktet et kvadrattall.

Dette er det minste tallet n som oppfyller kravet, for

  • med bare to faktorer blir antall 2 og 3 oddetall
  • med tre faktorer blir antall 2 og 5 oddetall
  • med fire faktorer blir antall 3 og 5 oddetall
  • med fem faktorer blir antall 3, 5 og 7 oddetall
  • med seks faktorer blir antall 7 oddetall
  • med sju faktorer blir antall ganger hvert av primtallene er faktor, er et partall.

\(7\cdot9=8^2-1\)

Det minste heltallet som gjør produktet til et kvadrattall er 8.