Flislagt gulv

Problem

I huset til Andrea er gulvene i alle kvadratiske rom dekket med kvadratiske fliser.
Alle flisene langs diagonalene er lilla, og de andre er hvite,slik figuren viser.   

Thumbnail

                     
Det er 109 lilla fliser på det kvadratiske gulvet på badet.
Hvor mange fliser er det i alt på gulvet på badet?

 

Starthjelp

  • Hvis du tenker deg at flisene ligger i rader og kolonner, hvor mange lilla fliser er det i hver rad?
  • Vil det bli én lilla flis i midten i alle tilfeller?
  • Du kan sette opp en tabell over ulike sidelengder og antallet lilla fliser i hvert tilfelle, og finne et mønster.

 

Løsning

Det kan være ulike måter å løse problemet på:

1    Bruke mindre gulv for å finne sammenhengen mellom antallet lilla fliser og størrelsen på gulvet
Hvis vi tenker oss gulv med størrelse på fra én flis og oppover, vil det se slik ut:

Thumbnail

 

Merk deg at i alle kvadratene der sidelengden er et partall, vil det bli et stort lilla kvadrat i midten.
En tabell med oversikt over sammenhengen mellom sidelengden på gulvet og antallet lilla fliser kan se slik ut:

Sidelengde

Lilla fliser

Sidelengde

Lilla fliser

1

1

2

4

3

5

4

8

5

9

6

12

7

13

8

… ?

 

Vi kan se et mønster her. Det ser ut som et gulv med sidelengde 8 får 16 lilla fliser.
Et gulv med sidelengde 3 har én flis mer enn et gulv med sidelengde 2, et gulv med sidelengde 5 har én flis mer enn et gulv med sidelengde 4, osv. Så et gulv med sidelengde 9 har én flis mer enn et gulv med sidelengde 8. Gulvet med sidelengde 9 vil ha 17 lilla fliser. Kontroller på figuren nedenfor.

Thumbnail

Mønsteret ser ut til å stemme.
109 fliser er 1 mer enn 108. Etter dette mønsteret vil sidelengden være 54 fliser hvis det hadde vært brukt 108 lilla fliser. Da vil et kvadratisk gulv med sidelengde på 55 fliser ha 109 lilla fliser.
Et kvadratisk gulv med sidelengde 55 fliser vil ha i alt 55 • 55 fliser = 3025 fliser.

2    Bruke mindre gulv for å finne et system

I alle kvadrater med et partall som sidelengde, vil antallet lilla fliser bli et partall. Siden det skal være 109 lilla fliser, må antallet fliser langs sidene i gulvet på badet være et oddetall. Vi kan se på hvordan antallet lilla fliser vokser når vi bare tar for oss kvadratiske gulv med oddetall som sidelengder.
Merk deg at hvert gulv inneholder det forrige gulvet, markert med en blå strek:

Thumbnail

For hvert gulv legges det til 4 nye lilla fliser, en i hvert hjørne, når antallet fliser langs sidene økes med 2.
Vi begynner med det minste kvadratet, 1 lilla flis. Hvor mange ganger må vi legge til 4 lilla fliser for å komme til 109 lilla fliser? Det er det samme som å finne ut hvor mange ganger vi må øke sidelengden med 2.
109 = 1 + 108, og 108 : 4 = 27.
Vi begynner med en lilla flis og øker sidelengden i kvadratet med 2 fliser 27 ganger. Da blir sidelengden på gulvet 1 + 27 • 2 fliser = 55 fliser.
Et kvadratisk gulv med sidelengde 55 fliser vil ha i alt 55 • 55 fliser = 3025 fliser.

3    Finne antall rader
Figuren nedenfor viser hele gulvet, men den er ikke ferdig utfylt, for vi vet ikke hvor stort kvadratet skal være.
I hver rad er det to lilla fliser (markert med blått), unntatt i den midterste, der det er bare én lilla flis (markert med grønt).
Siden det er 109 lilla fliser, må det være 108 fliser i radene som inneholder 2 lilla fliser. Det er da 108 : 2 = 54 slike rader, og når vi teller med den ene raden med bare én lilla flis, blir det i alt 55 rader. Et kvadratisk gulv med sidelengde 55 fliser vil ha i alt 55 • 55 fliser = 3025 fliser.

Thumbnail