I enhetsintervallet

Problem

Velg to tilfeldige tall mellom 0 og 1. Vis at summen av disse tallene alltid er mindre enn 1 pluss produktet av tallene. Det vil si:

La \(0 < x < 1\) og \(0 < y < 1\).

Vis at da er \( x + y < 1 + xy\).

 

Starthjelp

Merk at ulikheten \(x + y < 1 + xy\) er ekvivalent med \(xy – x – y + 1 > 0.\)

Løsning

Vi begynner med den gitte ulikheten og skriver den på en form som hjelper oss å vise at påstanden stemmer:

\(x + y < 1 + xy \\ \\ xy – x – y + 1 > 0 \\ x (y – 1) – (y – 1) > 0\\ (x – 1) (y – 1) > 0\\\)

Hvis både x og y ligger mellom 0 og 1, vil både x – 1 < 0 og y – 1 < 0 for alle mulige verdier av x og y. Det betyr at produktet av de to faktorene alltid blir positivt, og at ulikheten er sann.

Alternativ løsning:

Vi vet at                          \(0 < 1 – x < 1\)

Siden \(0 < y < 1\), vil     \(y (1 – x) < 1 – x\)

Vi får                               \(y – xy < 1 – x\)

Dermed blir                   \(x + y < 1 + xy\)