I enhetsintervallet
Problem
Velg to tilfeldige tall mellom 0 og 1. Vis at summen av disse tallene alltid er mindre enn 1 pluss produktet av tallene. Det vil si:
La \(0 < x < 1\) og \(0 < y < 1\).
Vis at da er \( x + y < 1 + xy\).
Starthjelp
Merk at ulikheten \(x + y < 1 + xy\) er ekvivalentMan sier at to påstander P og Q er ekvivalente hvis følgende er sant: 1) Hvis P er sann, må også Q være sann. 2) Hvis Q er sann, må også P være sann. Vi skriver P⇔Q , som leses P er ekvivalent med Q . Eksempel: "Hvis Ida er i Frankrike, er hun i Europa" er ekvivalent med "hvis Ida ikke er i Europa, er hun ikke i Frankrike" med \(xy – x – y + 1 > 0.\)
Løsning
Vi begynner med den gitte ulikheten og skriver den på en form som hjelper oss å vise at påstanden stemmer:
\(x + y < 1 + xy \\ \\ xy – x – y + 1 > 0 \\ x (y – 1) – (y – 1) > 0\\ (x – 1) (y – 1) > 0\\\)
Hvis både x og y ligger mellom 0 og 1, vil både x – 1 < 0 og y – 1 < 0 for alle mulige verdier av x og y. Det betyr at produktet av de to faktorene alltid blir positivt, og at ulikheten er sann.
Alternativ løsning:
Vi vet at \(0 < 1 – x < 1\)
Siden \(0 < y < 1\), vil \(y (1 – x) < 1 – x\)
Vi får \(y – xy < 1 – x\)
Dermed blir \(x + y < 1 + xy\)
Ressursen er utviklet av NRICH