I 6-gangen
Problem
Velg et tilfeldig tall n, regn ut \(n^3+11n\), og divider tallet med 6.
- For hvilke verdier av n blir svaret du får, et helt tall?
- Kan du forklare hvorfor?
Løsning
For hvert tall n kan vi få følgende tall til rest når vi dividerer med 6: 0, 1, 2, 3, 4 eller 5.
For eksempel gir divisjonen 22 : 6 4 til rest og 23 : 6 gir 5 til rest. Divisjonen går opp hvis resten blir 0.
|
n |
n3 |
Rest ved divisjonen n3 : 6 |
11n |
Rest ved divisjonen 11n : 6 |
|
1 |
1 |
1 |
11 |
5 |
|
2 |
8 |
2 |
22 |
4 |
|
3 |
27 |
3 |
33 |
3 |
|
4 |
64 |
4 |
44 |
2 |
|
5 |
125 |
5 |
55 |
1 |
|
6 |
216 |
0 |
66 |
0 |
|
7 |
343 |
1 |
77 |
5 |
|
8 |
512 |
2 |
88 |
4 |
|
9 |
729 |
3 |
99 |
3 |
|
10 |
1000 |
4 |
110 |
2 |
|
11 |
1331 |
5 |
121 |
1 |
|
12 |
1728 |
0 |
132 |
0 |
|
13 |
2197 |
1 |
143 |
5 |
|
14 |
2744 |
2 |
154 |
4 |
|
15 |
… |
3 |
… |
3 |
|
16 |
… |
4 |
… |
2 |
Restene følger et fast mønster for hver verdi av n.
Vi ser på divisjonen \((n^3+11n) :6\) for noen verdier av n:
\(\begin{array}{l} ({n^3} + 11n):6 = {n^3}:6 + 11n:6\\ n = 7{\text{ gir 343:6 + 77:6 = 57}}\frac{1}{6} + 12\frac{5}{6} = 57 + 12 + \frac{6}{6}\\ n = 8{\text{ gir 512:6 + 88:6 = 85}}\frac{2}{6} + 14\frac{4}{6} = 85 + 14 + \frac{6}{6}\\ n = 9{\text{ gir 729:6 + 99:6 = 121}}\frac{3}{6} + 16\frac{3}{6} = 121 + 16 + \frac{6}{6} \end{array}\)
Alle divisjonene går opp (gir heltall til svar).
Det betyr at divisjonen \((n^3+11n) :6\) vil gå opp for alle naturlige tall n.
Alternativ løsning
\(\begin{align}&&&{n^3} + 11n \\ = &&&{n^3} + 12n - n \\ = &&&n({n^2} - 1) + 12n \\ = &&&(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) + 12n\end{align}\)
6 går alltid opp i produktet av tre påfølgende tall og også i 12n, så 6 vil alltid gå opp i \(n^3+11n\).
Ressursen er utviklet av NRICH