I 6-gangen

Problem

Velg et tilfeldig tall n, regn ut \(n^3+11n\), og divider tallet med 6.

  • For hvilke verdier av n blir svaret du får, et helt tall?
  • Kan du forklare hvorfor?

 

Løsning

For hvert tall n kan vi få følgende tall til rest når vi dividerer med 6: 0, 1, 2, 3, 4 eller 5.
For eksempel gir divisjonen 22 : 6 4 til rest og 23 : 6 gir 5 til rest. Divisjonen går opp hvis resten blir 0.

n

n3

Rest ved divisjonen n3 : 6

11n

Rest ved divisjonen 11n : 6

1

1

1

11

5

2

8

2

22

4

3

27

3

33

3

4

64

4

44

2

5

125

5

55

1

6

216

0

66

0

7

343

1

77

5

8

512

2

88

4

9

729

3

99

3

10

1000

4

110

2

11

1331

5

121

1

12

1728

0

132

0

13

2197

1

143

5

14

2744

2

154

4

15

3

3

16

4

2

 

Restene følger et fast mønster for hver verdi av n.
Vi ser på divisjonen \((n^3+11n) :6\) for noen verdier av n:   


\(\begin{array}{l} ({n^3} + 11n):6 = {n^3}:6 + 11n:6\\ n = 7{\text{ gir 343:6 + 77:6 = 57}}\frac{1}{6} + 12\frac{5}{6} = 57 + 12 + \frac{6}{6}\\ n = 8{\text{ gir 512:6 + 88:6 = 85}}\frac{2}{6} + 14\frac{4}{6} = 85 + 14 + \frac{6}{6}\\ n = 9{\text{ gir 729:6 + 99:6 = 121}}\frac{3}{6} + 16\frac{3}{6} = 121 + 16 + \frac{6}{6} \end{array}\)

 

Alle divisjonene går opp (gir heltall til svar).
Det betyr at divisjonen \((n^3+11n) :6\) vil gå opp for alle naturlige tall n.

Alternativ løsning

\(\begin{align}&&&{n^3} + 11n \\ = &&&{n^3} + 12n - n \\ = &&&n({n^2} - 1) + 12n \\ = &&&(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) + 12n\end{align}\)

6 går alltid opp i produktet av tre påfølgende tall og også i 12n, så 6 vil alltid gå opp i \(n^3+11n\).

 

Ressursen er utviklet av NRICH