Forskyvning av gangetabeller

Aktivitet

Tallene i 4-gangen er

4, 8, 12, 16 … 36, 40, 44 … 100, 104, 108 …

Vi kan forskyve 4-gangen oppover med 3 og få

7, 11, 15, 19 … 39, 43, 47 … 103, 107, 111 ...

Sammenlign forskjellene mellom tall som følger etter hverandre i de to tallfølgene. Hva ser dere?

Nedenfor er et interaktivt verktøy der det kommer opp fem tall fra en forskjøvet gangetabell.

nivå 1 og 2 kommer det alltid fem tall som følger etter hverandre i gangetabellen etter at den er forskjøvet.

nivå 3 og 4 kommer det fem tall som hører til i en gangetabell etter at den er forskjøvet, men det er ikke tall som følger etter hverandre i tabellen, og de kommer ikke i riktig rekkefølge.

Bruk oppgaven nedenfor til å få opp fem tall. Finn ut hvilken gangetabell det er, og hvor mye den er forskjøvet med.

Når dere har blitt kjent med hvordan oppgaven virker, kan dere prøve å finne svar på spørsmålene nedenfor. Hva kan dere si

  • hvis alle tallene er oddetall?
  • hvis alle er partall?
  • hvis det er en blanding av oddetall og partall?
  • hvis sifrene på enerplassene er like i alle de fem tallene?
  • hvis det er bare to ulike tall på enerplassene?
  • hvis differansen mellom to tall er et primtall?
  • hvis differansen mellom to tall er et sammensatt tall?

Forklar hvordan dere fant hvilken gangetabell og hvilken forskyvning som var brukt i oppgavene dere løste. Hvorfor vil metoden dere bruker, alltid gi riktig løsning?

Starthjelp

  • På nivå 3 og 4 kan dere begynne med å flytte på tallene slik at de kommer i riktig rekkefølge.
  • Så kan dere se på differansen mellom de to tallene som er nærmest hverandre.

Løsning

Eksempler

8, 13, 18, 23, 28                                5-gangen forskjøvet med 3

 27, 41, 55, 69, 83                            14-gangen forskjøvet med 13

79, 191, 37, 51, 205                         14-gangen forskjøvet med 9

104, 454, 254, 604, 704                 50-gangen forskjøvet med 4

127, 414, 332, 619, 373                 41-gangen forskjøvet med 4

For å avgjøre om tabellen er forskjøvet oppover eller nedover, kan vi dividere et av de oppgitte tallene med tallet i den opprinnelige gangetabellen. Hvis resten er større enn halvparten av tallet i gangetabellen som er brukt, er det kortest å flytte ned.

Eksempel:

Vi har tallene 348, 92, 252, 284, 124.

Vi ordner dem i stigende rekkefølge: 92, 124, 252, 284, 348.

Differansene mellom to og to tall blir: 32, 128, 32, 64.

Største felles faktor for disse tallene er 32.

Vi dividerer: 92 : 32 = 2 og 28 til rest.

Det betyr at den opprinnelige gangetabellen er 32-gangen. Alle oppgitte tall er forskjøvet oppover med 28 eller nedover med 4 (32 · 2 + 28 = 92, og 32 · 3 – 4 = 92).

Noen regler som er til hjelp:

  • Hvis alle tallene er oddetall, må den opprinnelige gangetabellen være en tabell av partall, og forskyvningen må være et oddetall.
  • Hvis alle tallene er partall, må både tabellen og forskyvningen bestå av partall.
  • Hvis det er blanding av oddetall og partall, er det opprinnelig gangetabellen til et oddetall, mens forskyvningen kan være partall eller oddetall.
  • Hvis det er bare to ulike tall på enerplassene, må den opprinnelige gangetabellen være 5-gangen.
  • Hvis differansen mellom to tall er et primtall, er den opprinnelige tabellen gangetabellen til dette primtallet.

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Dette er en oppgave som gir elevene mulighet til å tenke over egenskaper som tallene har. Den kan brukes som en introduksjon til å arbeide med aritmetiske (lineære) følger og lineære grafer.
 

Mulig tilnærming

Skrive følgende på tavla: 6, 12, 18, 24, og spør elevene hvilken gangetabell dette er.

Hvilke gangetabeller fins i disse følgene av tall:

33, 44, 55, 66

48, 54, 60, 66

135, 150, 165, 180

Fortsett til du er sikker på at elevene gjenkjenner gangetabellene til både små og store tall, enten de ser dem i begynnelsen eller litt lenger ute i tabellen.

«Hva hvis du får tall fra en gangetabell som ikke står i rekkefølge, som 55, 40, 105, 60? Hva med 90, 60, 105, 45?»

Diskuter med elevene, og få dem til å se at dette er tall som finnes både i 3-, 5- og 15- gangen, Forklar at vi nå bare er interessert i å finne den «største mulige gangetabellen», det vil i dette tilfellet si 15-gangen.

Tall som 280, 160, 560 og 720 vil friste elevene til å foreslå både 10-gangen og 20-gangen, men alle tallene er i 40-gangen. Også i denne oppgaven er det den største mulige gangetabellen vi vil fram til.

Vis nå elevene et eksempel i det interaktive displayet. Si at dette er litt annerledes enn det vi har snakket sammen om (men ikke si hva som er annerledes). La dem snakke litt sammen i par om hva de tror har skjedd med tallene. Vis et par eksempler til, og la dem få litt tid etter hvert eksempel til å diskutere med partneren. Til slutt får hele klassen snakke sammen om hva de tror det interaktive programmet har gjort med tallene. Bruk begrepene gangetabell og forskyvning om det som skjer. (Forskyvning er kanskje et vanskelig begrep, så sørg for at elevene forstår hva som ligger i det i denne oppgaven.)

Legg vekt på at gangetabellen alltid skal være til størst mulig tall og forskyvningen minst mulig. Dette eksempelet kan gjøre det tydeligere:

82, 202, 122, 442

Det kan komme mange mulige løsninger:

10-gangen med forskyvning 2 eller 12 eller 22 …

5-gangen med forskyvning 2 eller 7 eller 12 …

20-gangen med forskyvning 2 eller 22 eller 42 …

Men vi er interessert i 40-gangen med forskyvning 2.

Nå kan elevene arbeide videre i par med oppgavene i det interaktive displayet. Hvis dette faller vanskelig, kan du skrive en del følger på tavla på et nivå som passer for elevene. De kan også lage tilsvarende oppgaver selv som andre kan løse.

Så snart elevene behersker oppgavene, kan de samles til en felles samtale. Gi dem et nytt eksempel, og la et par forklare hva de tenker, og hva de gjør når de får en slik oppgave, men be dem stoppe før de kommer til svaret. Så kan alle skrive svaret de mener er rett. Gjenta det samme, og gi et nytt elevpar anledning til å forklare hva de tenker.

Etterpå kan elevene arbeide med spørsmålene som ligger til slutt i oppgaven. Legg vekt på at de forklarer og begrunner løsningene sine slik at det overbeviser de andre.
 

Gode veiledningsspørsmål

  • Hva er likt for tallene i gangetabellen og tallene i gangetabellen som er forskjøvet?
  • Hva finner dere ut når dere regner ut differansen mellom to tall i tabellen som er forskjøvet?
  • Hvordan kan dere finne forskyvningen så snart dere vet hvilken gangetabell den opprinnelig har utgangspunkt i?

Ressursen er utviklet av NRICH