Oddetall, partall og flere partall

Aktivitet

Her er de første få følgene i en familie av beslektede følger:

\(A_0=1,\:3,\:5,\:7,\:9,\:11,\:13,\:15,\:17,\:19,\:21,\:23,\:25,\:27,\:29,\:...\\ A_1=2,\:6,\:10,\:14,\:18,\:22,\:26,\:30,\:34,\:38,\:42,\:...\\ A_2=4,\:12,\:20,\:28,\:36,\:44,\:52,\:60,\:...\\ A_3=8,\:24,\:40,\:56,\:72,\:88,\:104,\:...\\ A_4=16,\:48,\:80,\:112,\:144,\:...\\ A_5=32,\:96,\:160,\:...\\ A_6=64,\:...\\ A_7= \:... \)

Hvilke følger vil inneholde tallet 1000?
 

Så snart dere har hatt tid til å tenke over problemet, kan dere se hvordan elevene Alise, Bernard og Karl begynte å arbeide med det.

Ta utgangspunkt i ideene til Alise, Bernard og Karl, og bruk hver av dem til å finne en løsning.

Alise

Hvis jeg ser på tallene som står rett under hverandre, ser jeg at hvert tall dobles for hver ny linje. Jeg lurer på om jeg kan tenke meg hvilke tall som må stå i linjene ovenfor 1000.

Bernard

Jeg ser at tallene som ender på 0 i A1, er 10, 30, 50 … Hvis jeg fortsetter å legge til 20 og 20, vil jeg aldri få 100, så 1000 er ikke i A1.

Karl

Jeg ser at alle tallene i A1 er 2 mer enn et tall i 4-gangen. Jeg vet at 1000 = 250 · 4, så 1000 er i 4-gangen og kan ikke være i A1.

Starthjelp

For Alises måte å tenke på:

  • Hva skjer med tallene når du går nedover radene?
  • Hva skjer når du går oppover radene?

For Bernards måte å tenke på:

  • Hvilke tall ender på 0 i følgen A2?
  • Hvilke tall ender på 0 i følgen A3?
  • Hvilke av disse følgene vil treffe 1000?

For Karls måte å tenke på:

  • Kan du finne en tilsvarende måte å beskrive de andre følgene på?
  • Hvilke av beskrivelsene inneholder 1000?

Løsning

1000 finnes i følgen A3 og bare der.

Det kan begrunnes på mange måter, en av dem er slik:

A0 består av alle oddetallene, så 1000 kan ikke finnes i denne tallfølgen.

A1 begynner med 2 og hvert ledd er 4 større enn det foregående. Det betyr at følgen består av alle partall som ikke er i 4-gangen. Siden 1000 er i 4-gangen, kan ikke 1000 være med i denne tallfølgen.

A2 begynner med 4 og hvert ledd er 8 større enn det foregående. Følgen består altså av tallene som er 4 større enn tallene i 8-gangen.  Siden 1000 er i 8-gangen, vil ingen tall i denne følgen bli 1000.

A3 begynner med 8 og hvert ledd er 16 større enn det foregående. Følgen består altså av tall som er 8 større enn tallene i 16-gangen. Vi kan finne at 16 ∙ 62 = 992, da vil 8 + 992 = 1000 finnes i denne tallfølgen.

A4 begynner med 16 og hvert ledd er 32 større enn det foregående. Følgen består altså av tall som er 16 større enn tallene i 32-gangen. Vi kan finne at 32 ∙ 31 = 992 og 16 + 992 = 1008. 1000 vil ikke finnes i denne følgen.

A5 begynner med 32 og hvert ledd er 64 større enn det foregående. Følgen består altså av tall som er 32 større enn tallene i 64-gangen. Vi kan finne at 64 ∙ 15 = 960 og 32 + 960 = 992. Neste tall i følgen er 992 + 64 = 1056. 1000 er ikke med.

A6 begynner med 64 og hvert ledd er 128 større enn det foregående. Vi finner at 64 + 128 ∙ 7 = 960 og neste tall i følgen er 960 + 128 = 1088, så 1000 er ikke med.

A7 = 128, 384, 640, 896, 1152, …

A8 = 256, 768, 1280, …

A9 = 512, 1536, …

A10 = 1024, …

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Denne oppgaven gir en enkel start på diskusjoner om følger som kan føre til generaliseringer. Kanskje kan oppgaven til og med få noen elever til å tenke på ulike grader av uendelighet. (Det finnes ulike grader av uendelighet, og de angis av kardinaltall.)

En mulig tilnærming

Begynn med å la elevene se lista over følgene A0–A6.

«Hva legger dere merke til?»

Gi elevene tid til å studere følgene litt i par før de deler det de har tenkt i klassen. La dem få tid til å beskrive mønsteret i følgene før spørsmålet i oppgaven blir stilt:

Hvilke følger vil inneholde tallet 1000?

Kopieringsoriginal til oppgaven finnes her.

Når elevene har kommet så langt som de klarer, kan de se på Alises, Bernards og Karls tilnærminger til problemet. Dette kan også kopieres på papir. Kopieringsoriginalen ligger her.

Spørsmål som kan hjelpe elevene videre med utgangspunkt i de tre måtene å begynne resonnementene på: (Spørsmålene står under Hint.)

For Alises måte å tenke på:

  • Hva skjer med tallene når du går nedover radene?
  • Hva skjer når du går oppover radene?

For Bernards måte å tenke på:

  • Hvilke tall ender på 0 i følgen A2?
  • Hvilke tall ender på 0 i følgen A3?
  • Hvilke av disse følgene vil treffe 1000?

For Karls måte å tenke på:

  • Kan du finne en tilsvarende måte å beskrive de andre følgene på?
  • Hvilke av beskrivelsene inneholder 1000?

La noen elever få presentere løsningene sine med utgangspunkt i de tre tilnærmingene. Hvis noen har andre måter å resonnere på, skal de også få presentere dem.

I oppfølgingen av dette arbeidet kan læreren starte med spørsmålet som ble stilt i utgangspunktet:

«Hva legger dere merke til?»

Inviter elevene til å uttrykke det de registrerer, som enten spørsmål eller påstander.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hvor mange av tallene fra 1 til 63 finnes i den første følgen? I den andre følgen? osv.
  • Vil alle positive heltall finnes i en av følgene?
  • Vil noen tall finnes i flere av følgene?
  • Hvilken følge vil bli den lengste?
  • Hvis du får oppgitt et tilfeldig tall, hvordan skal du da avgjøre hvilken følge det hører hjemme i?
  • Hvordan vil du skrive det n-te tallet i hver av følgene A0, A1, A2 … Am?

Mulig utvidelse

Lag overbevisende bevis for løsningene på følgende spørsmål:

  • Vil alle positive heltall finnes i en av følgene?

Vil noen tall finnes i flere av følgene?

Ressursen er utviklet av NRICH