Team

Problem

En sjakk-klubb har 10 medlemmer, 4 kvinner og 6 menn. To av mennene er brødre.

Et team på 4 medlemmer skal velges for å spille en match. Vi antar at det er tilfeldig hvem som blir valgt.

  1. Hva er sannsynligheten for at begge brødrene blir valgt til å være med i teamet?
  2. Hva er sannsynligheten for at ingen av dem blir valgt?
  3. Hva er sannsynligheten for at det blir valgt minst to kvinner?
  4. Hva er sannsynligheten for at det blir valgt minst to menn?

Starthjelp

På hvor mange måter kan vi velge et team på 4 av 10 personer?

Løsning

Vi kan velge 4 av 10 personer på \(\binom{10}4=210\) ulike måter (10C4 måter på kalkulatoren).

Vi kan forklare det slik at vi velger en og en person. Det er 10 mulige personer som kan velges først, dernest er det 9 mulige som kan velges, osv. 4 personer kan altså velges på \(10\cdot9\cdot8\cdot7=5040\) ulike måter. Men i denne utvelgelsen har rekkefølgen noe å si. Anta at A, B, C og D er 4 personer i klubben. I de 5040 ulike utvalgene er ABCD, ABDC, CDAB osv. talt med som ulike utvalg. Vi har altså 5040 ordnede utvalg.

Hvert utvalg på 4 medlemmer kan ordnes i en innbyrdes rekkefølge på \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) ulike måter. Altså vil de samme fire personene forekomme i 24 ulike kombinasjoner. Hvis vi vil regne alle utvalg som består av de samme fire personene som ett utvalg, et uordnet utvalg, regner vi \(5040:24=210\).

  1. Hvis begge brødrene skal være med i teamet, kan de velges på bare én måte, \(\binom{2}2=1\). Sammen med dem må vi velge 2 personer fra de øvrige 8. Det kan gjøres på \(\binom{8}2=28 \)ulike måter. Sannsynligheten for at de to brødrene blir med på teamet, er da \(\frac{28}{210}=0,13\).
    Hvis vi bruker formelen for hypergeometrisk fordeling, tenker vi at vi skal velge 2 personer av en gruppe på 2, og 2 av en gruppe på 8, i alt 4 av en gruppe på 10. Utregningen blir
    \(\frac{\binom22\cdot\binom82}{\binom{10}4}=0,13\)
  2. At ingen av de to brødrene skal bli valgt, betyr at alle de fire i teamet må velges ut av de åtte øvrige i klubben. Det kan gjøres på 70 ulike måter: \(\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = 70\).
    Sannsynligheten for dette utfallet blir \(\frac{70}{210}=0,33\)
    Vi kan regne med hypergeometrisk fordeling:
    \(\frac{\binom20\cdot\binom84}{\binom{10}4}=0,33\)
  3. For å finne hvor mange kombinasjoner det er med minst to kvinner på teamet, kan vi legge sammen antall kombinasjoner for to kvinner og to menn + tre kvinner og en mann + fire kvinner og ingen mann. Eller vi kan ta det totale antall kombinasjoner og trekke fra antall kombinasjoner med ingen kvinner og antall kombinasjoner med én kvinne.
    Totalt antall kombinasjoner er 210.
    Antall kombinasjoner med ingen kvinner (bare menn) er \(\binom64=15\)
    Antall kombinasjoner med én kvinne (og tre menn) er \(\binom41\cdot\binom63=80\)
    Antall kombinasjoner med minst fire kvinner er \(210-15-80 = 115\)
    Sannsynligheten for at det blir minst to kvinner i teamet, er \(\frac{115}{210}=0,55\)

    Med formler for hypergeometrisk fordeling kunne regnestykket sett slik ut:
    \(1-\frac{\binom64}{\binom{10}4}-\frac{\binom41\cdot\binom63}{\binom{10}4}= 0,55\)
  4. P(minst 2 menn i teamet) =
    1 - P(ingen mann i teamet) – P(én mann i teamet)=
    \(1-\frac{\binom44}{\binom{10}4}-\frac{\binom43\cdot\binom61}{\binom{10}4}= 0,88\)

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Alle spørsmålene i denne oppgaven kan løses med formelen for hypergeometrisk fordeling. Det kan lett bli bare en øvelse i å fylle ut tall i en formel. Derfor er det viktig å ha forståelse i fokus.

Mulig tilnærming

For at elevene ikke skal miste forståelsen av hva som ligger til grunn for formelen, kan de prøve å løse oppgaven på flere måter. Si at du forventer at de kan forklare det de gjør, og hvorfor de gjør det nettopp slik. Etter at elevene har løst oppgaven, gjerne i par, kan dette være tema for en diskusjon i fellesskap.

Gode veiledningsspørsmål

  • På hvor mange måter kan vi velge ut et team på 4 personer av en gruppe på 10?
  • På hvor mange måter kan vi velge ut 2 kvinner og 2 menn hvis det er 6 menn og 4 kvinner i klubben?
  • Hvis vi skal regne ut binomialkoeffisienten \(\binom{10}4\), hvordan ville det regnestykket se ut? Hvorfor er det slik?

Ressursen er utviklet av NRICH