Deling av drops

Aktivitet

Fargerike drops i en haug.

Tre elever skal dele 26 drops. Hver elev skal ha minst ett drops. På hvor mange måter kan elevene fordele dropsene?

Hvordan vil fordelingen bli om det var 27 drops? 30 drops? Eller n drops? 

Hva om det var 4 elever? 5 elever? Eller m elever?

Hvis du først har tenkt at 1, 1 og 24 ikke er det samme som 24, 1 og 1 eller 1, 24, 1, kan du nå tenke at dette er samme løsning. Hvordan vil antall løsninger endre seg om du endrer forutsetningene i oppgaven?

Hvis du har tenkt at 1, 1,  24 og 1, 24, 1 var samme løsning, kan du nå se på hva som skjer om du bestemmer at dette ikke er samme løsning.

Løsning

Denne oppgaven kan løses på ulike måter. Du kan for eksempel bruke en tabell.

Martin 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1
Oda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 24
Nora 24 23 22 21 20 19 18 17 16 ... 1

= 24 måter

Martin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... 2
Oda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 23
Nora 23 22 21 20 19 18 17 16 15 ... 1

= 23 måter

Osv. 24 + 23 + 22 + 21 + ... + 1 måter

Kommentar: Dette er summen av de (n - 2) første naturlige tallene, der er antall drops, altså \(\frac{(n-1)(n-2)}{2}\)ulike måter å dele dropsene på.

En annen mulig løsning kan være slik: Gruppa begynner med 3 drops. Da er det 1 måte. 4 drops gir fordelingen 1, 1, 2 på 3 måter. 5 drops gir fordelingene 2, 2, 1 på 3 måter og 1, 1, 3 på 3 måter. Det vil si 6 til sammen.

De lager denne tabellen:

Antall drops Antall måter
3 1
4 3
5 6
   

De diskuterer om de kan se et mønster.

Kommentar: Denne gruppa er på vei til å se trekanttallene i høyre kolonne. Det er trekanttall nummer (- 2) som er løsningen hvis det er drops.

En tredje mulig løsning kan se slik ut: Gruppa legger alle 26 dropsene på en lang rekke med mellomrom mellom. Så finner de ut at problemet kan løses ved å legge to fyrstikker i to av de 25 mellomrommene. På denne måten finner de løsningen ved å bestemme på hvor mange måter de kan velge to ulike mellomrom når de har 25 å velge mellom.

Det er \(\binom{25}{2}\) forskjellige måter.

Husk at \(\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}\), så \(\binom {25}2=\frac{25\cdot24}{2}=300\)

24 tellebrikker på rekke.

Kommentar: Denne gruppa har en løsningsmetode som kan generaliseres til drops og elever. De har brukt en modell som viser at problemet kan sammenliknes med å velge to av tallene fra 1 til 25, ved å tenke at to av 25 steder vil dele dropsene i tre mengder. Hvert valg vil gi en ny løsning. Med drops og elever, blir det \(\binom{n-1}{m-1}\) ulike måter å fordele dropsene på.

Lærerveiledning

Hvorfor arbeide med denne oppgaven?

Elevene skal utvikle varierte og hensiktsmessige strategier for å løse tilsynelatende uoversiktlige kombinatoriske problem. Videre skal de få øvelse i å presentere egne ideer og løsninger. De får også mulighet til å utvikle et godt matematisk språk og hensiktsmessig bruk av symboler.

Mulig tilnærming

Det ideelle er å lage grupper med tre personer. Hvis det ikke går opp med antallet, kan det være to på en eller to grupper, hvor de kan ha en «usynlig venn». Oppgaven introduseres muntlig, og hver gruppe tildeles 26 tellebrikker. Det er viktig at du som lærer ikke leder elevene inn på spesielle løsningsmetoder og tenkemåter. Tenk gjennom hvordan du kan oppmuntre dem til å gå videre med en idé de selv kommer med. Under oppsummeringen kan elevene i fellesskap vurdere de ulike løsningsforslagene, og sammen tenke ut hvilke som kan generaliseres til enda mer kompliserte situasjoner.

Underveis i gruppearbeidet er det fint å notere hvilke metoder elevene bruker. Velg en fornuftig rekkefølge, og be de utvalgte gruppene vise fram sine løsninger. De kan presentere det muntlig, ved å vise med brikkene, eller tegne og skrive på tavla.

Pass på at elevene får vist de ulike metodene. Utfordre dem til å avgjøre hvilke av metodene som er forståelige og effektive. Videre er det nyttig å se etter matematiske sammenhenger mellom de ulike metodene, og se om noen metoder kan lede til en generalisering.

Gode veiledningsspørsmål

Det er fint om elevene får streve litt med aktiviteten før de veiledes videre. Veiledningen bør være resonnerende og ikke avsløre hva de skal oppdage.

  • Hvordan kan du begynne, og hvorfor?
  • Hvordan vil du holde oversikt over det du har funnet ut?
  • Kan du forenkle problemet og på den måten finne en framgangsmåte?
  • Hvordan vet du at du har funnet alle mulighetene?

Mulig utvidelse

  • Kan elevene finne ut hvordan fordelingen vil bli om det var 27 drops? 30 drops? Eller n drops? 
  • Hva om det var 4 elever? 5 elever? Eller m elever?
  • Hvis de først har tenkt at 1, 1 og 24 ikke er det samme som 24, 1 og 1 eller 1, 24, 1, kan de nå tenke at dette er samme løsning. Hvordan vil antall løsninger endre seg om de endrer forutsetningene i oppgaven?
  • Hvis de har tenkt at 1, 1, 24 og 1, 24, 1 var samme løsning, kan de nå se på hva som skjer om de bestemmer at dette ikke er samme løsning.

Mulig støtte

En problemløsningsstrategi er å forenkle problemet. Elevene kan prøve å forenkle dette problemet. Hva med en fordeling av 5 drops, 6 drops, 7 drops?  Hvilke mønstre dukker opp?

Hvordan kan elevene strukturere letingen for å være sikre på at de har funnet alle løsningene?