Tre elever, Martin, Oda og Nora skal dele 26 drops. Hver elev skal ha minst ett drops. På hvor mange måter kan elevene fordele dropsene?
Tenk deg at 1, 1, 24 og 1, 24, 1 og 24, 1, 1 er tre ulike fordelinger av dropsene – hva betyr det?
Hvor mange forskjellige måter kan dropsene fordeles på?
Ekstra utfordring:
Hva hvis vi endrer forutsetningene og tenker oss at det ikke betyr noe hvem som får hvilket antall drops, altså at 1, 1, 24 og 1, 24, 1 og 24, 1, 1 er samme løsning.
Hvor mange måter er det da å fordele dropsene på?
Denne oppgaven kan løses på ulike måter. Du kan for eksempel bruke en tabell.
| Martin | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ... | 1 |
| Oda | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ... | 24 |
| Nora | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | ... | 1 |
= 24 måter
| Martin | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ... | 2 |
| Oda | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ... | 23 |
| Nora | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | ... | 1 |
= 23 måter
Osv. 24 + 23 + 22 + 21 + ... + 1 måter
Kommentar: Dette er summen av de (n - 2) første naturlige tallene, der n er antall drops, altså \(\frac{(n-1)(n-2)}{2}\)ulike måter å dele dropsene på.
En annen mulig løsning kan være slik: Gruppa begynner med 3 drops. Da er det 1 måte. 4 drops gir fordelingen 1, 1, 2 på 3 måter. 5 drops gir fordelingene 2, 2, 1 på 3 måter og 1, 1, 3 på 3 måter. Det vil si 6 til sammen.
De lager denne tabellen:
| Antall drops | Antall måter |
| 3 | 1 |
| 4 | 3 |
| 5 | 6 |
De diskuterer om de kan se et mønster.
Kommentar: Denne gruppa er på vei til å se trekanttallene i høyre kolonne. Det er trekanttall nummer (n - 2) som er løsningen hvis det er n drops.
En tredje mulig løsning kan se slik ut: Gruppa legger alle 26 dropsene på en lang rekke med mellomrom mellom. Så finner de ut at problemet kan løses ved å legge to fyrstikker i to av de 25 mellomrommene. På denne måten finner de løsningen ved å bestemme på hvor mange måter de kan velge to ulike mellomrom når de har 25 å velge mellom.
Det er \(\binom{25}{2}\) forskjellige måter.
Husk at \(\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}\), så \(\binom {25}2=\frac{25\cdot24}{2}=300\)
Kommentar: Denne gruppa har en løsningsmetode som kan generaliseres til n drops og m elever. De har brukt en modell som viser at problemet kan sammenliknes med å velge to av tallene fra 1 til 25, ved å tenke at to av 25 steder vil dele dropsene i tre mengder. Hvert valg vil gi en ny løsning. Med n drops og m elever, blir det \(\binom{n-1}{m-1}\) ulike måter å fordele dropsene på.
Fordeling av drops på 3 elever, hvor vi ikke tar hensyn til hvilket antall hver av dem får, bare hvor mange ulike måter det er å dele opp antallet drops:
| Antall drops | Ulike måter å fordele dropsene | Antall måter å fordele på |
|---|---|---|
| 3 | 1-1-1 | 1 |
| 4 | 1-1-2 | 1 |
| 5 |
1-1-3 |
2 |
| 6 |
1-1-4 |
3 |
| 7 | 1-1-5 1-2-4 1-3-3 2-2-3 |
4 |
| 8 | 1-1-6 1-2-5 1-3-4 2-2-4 2-3-3 |
5 |
| 9 | 1-1-7 1-2-6 1-3-5 2-2-5 2-3-4 3-3-3 |
6 |
Elevene skal utvikle varierte og hensiktsmessige strategier for å løse tilsynelatende uoversiktlige kombinatoriske problem. Videre skal de få øvelse i å presentere egne ideer og løsninger. De får også mulighet til å utvikle et godt matematisk språk og hensiktsmessig bruk av symboler.
Det ideelle er å lage grupper med tre personer. Hvis det ikke går opp med antallet, kan det være to på en eller to grupper, hvor de kan ha en «usynlig venn». Oppgaven introduseres muntlig, og hver gruppe tildeles 26 tellebrikker. Det er viktig at du som lærer ikke leder elevene inn på spesielle løsningsmetoder og tenkemåter, men snakk med dem om hva det betyr i praksis at 1,1,24, 1,24,1 og 24,1,1 blir forstått som tre ulike løsninger. Tenk gjennom hvordan du kan oppmuntre dem til å gå videre med en idé de selv kommer med. Under oppsummeringen kan elevene i fellesskap vurdere de ulike løsningsforslagene, og sammen tenke ut hvilke som kan generaliseres til enda mer kompliserte situasjoner.
Underveis i gruppearbeidet er det fint å notere hvilke metoder elevene bruker. Velg en fornuftig rekkefølge, og be de utvalgte gruppene vise fram sine løsninger. De kan presentere det muntlig, ved å vise med brikkene, eller tegne og skrive på tavla.
Pass på at elevene får vist de ulike metodene. Utfordre dem til å avgjøre hvilke av metodene som er forståelige og effektive. Videre er det nyttig å se etter matematiske sammenhenger mellom de ulike metodene, og se om noen metoder kan lede til en generalisering.
Det er fint om elevene får streve litt med aktiviteten før de veiledes videre. Veiledningen bør være resonnerende og ikke avsløre hva de skal oppdage.
En problemløsningsstrategi er å forenkle problemet. Elevene kan prøve å forenkle dette problemet. Hva med en fordeling av 5 drops, 6 drops, 7 drops? Hvilke mønstre dukker opp?
Hvordan kan elevene strukturere letingen for å være sikre på at de har funnet alle løsningene?
Ressursen er utviklet av Matematikksenteret
