Likebeinte trekanter

Aktivitet

Dette problemet handler om likebeinte trekanter med areal på \(9\:cm^2\).

Trekant i et koordinatsystem.
Figur 1

Et av hjørnene i trekanten må være i punktet (20, 20) i koordinatsystemet.

Hvert av de andre hjørnene må være i et krysningspunkt i rutenettet, dvs. at de må ha koordinater som er hele tall.

Hvor mange ulike trekanter oppfyller disse kravene?

Prøv å finne alle. Du kan bruke GeoGebra-appleten nedenfor.

Kan du forklare hvordan du kan være sikker på at du har funnet alle?

Starthjelp

  • Likebeinte trekanter er trekanter som har to like lange sider.
  • Arealet av en trekant er halvparten av grunnlinja ganger høyden.
  • Hvilket som helst av de tre hjørnene kan være punktet (20, 20).
  • Det finnes flere kongruente trekanter med areal 9 cm2 som oppfyller kravene i oppgaven. Hvor mange kongruente trekanter som oppfyller kravene, kan du plassere i koordinatsystemet? Og hvor mange typer trekanter oppfyller kravene i oppgaven?

Løsning

Det finnes tre typer trekanter med areal 9 cm2 og hjørnepunkt med heltallige koordinater:

Grunnlinje 18 cm og høyde 1 cm

Grunnlinje 6 cm og høyde 3 cm

Grunnlinje 2 cm og høyde 9 cm

Hver trekant har tre hjørner. Vi kan plassere de tre hjørnene i punktet (20, 20) etter tur, og i hvert av disse tilfellene er det fire mulige plassering av samme trekant

Figurene nedenfor viser hvordan de kan tegnes for trekanten med grunnlinje 6 cm og høyde 3 cm.

4 trekanter som henger sammen i toppen og danner en vifte
Figur 2
4 trekanter som henger sammen i toppen og danner en vifte
Figur 3
Kvadrat med kryss fra hjørne til hjørne
Figur 4

Figur 2                    Figur 3                    Figur 4

I alt kan vi plassere 12 kongruente trekanter av hver type som oppfyller kravene. Vi har tre ulike typer trekanter, så det finnes i alt 36 trekanter som oppfyller kravene i oppgaven.

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Oppgaven krever forståelse av likebeinte trekanter, areal av trekanter, koordinatsystemet, faktorer i 18, refleksjon, rotasjon og symmetri. Løsningen er ikke så krevende, men den er heller ikke triviell. 

Å lage en trekant med hjørner i skjæringspunktene i koordinatsystemet med areal 9 cm2 er inngangen til oppgaven, og denne terskelen er ikke så høy. Å finne flere trekanter som tilfredsstiller kravene, er litt mer krevende. Og å finne et system som sikrer at en har funnet alle mulige løsninger, krever ganske mye.

Mulig tilnærming

Oppgaven kan skrives ut fra denne kopioriginalen.

Vis klassen denne trekanten, og be dem liste opp så mange opplysninger om den som de kan.

Trekant i et koordinatsystem.
Figur 1

Lag grupper på 3–4 elever, og be dem finne noen trekanter som kan oppfylle følgende krav:

  • Trekanten skal være likebeint.
  • Arealet skal være 9 cm2.
  • Trekanten skal tegnes inn i et koordinatsystem, og hvert hjørne skal ha heltallige koordinater (dvs. ligge i skjæringspunkt i rutenettet).
  • Det ene hjørnet skal ligge i punktet (20, 20). 

Når elevene har funnet noen eksempler, vil du kanskje la dem bruke GeoGebra-appleten. Der kan de raskt sjekke om løsningene er riktige. Her er det anledning til å snakke om hvilke typer trekanter som oppfyller kravene, at både grunnlinja og høyden må være heltall som går opp i 18. Hvorfor i 18? Og hvordan kan en finne alle mulige kombinasjoner av slike tall?

Utfordringen deres er å finne alle trekantene som tilfredsstiller de fire kravene ovenfor. Vær tydelig på at du forventer at de kan forklare hvordan de kan være sikre på at de har funnet alle. Her er det anledning til å snakke om kongruens, symmetri, refleksjon og rotasjon.

Så snart gruppene har en løsning, kan klassen samles, og elevene kan forklare hvordan de er overbevist om at de har funnet alle mulige løsninger. Hvis noen mangler noen løsninger, kan de oppmuntres til å tenke over hvorfor de ikke har oppdaget dem.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hvordan vet du at trekantene har riktig areal?
  • Hvordan vet du at du har funnet alle mulige typer trekanter?
  • Kan du forklare hvorfor du er sikker på at du har funnet alle mulige plasseringer av hver type trekant?

Mulig utvidelse

Utfordre elevene til å finne og beskrive en generell metode til å avgjøre hvor mange forskjellige likebeinte trekanter vi kan tegne med et hvilket som helst areal, når vi må følge de øvrige kravene i oppgaven.

Oppgaven krever ikke at noen av sidene i trekantene ligger horisontalt eller vertikalt i koordinatsystemet. Finnes det trekanter der ingen av sidene ligger horisontalt eller vertikalt, og som tilfredsstiller de fire kravene i oppgaven?

Mulig støtte

I stedet for å bruke (20, 20) som koordinatene til det ene hjørnet, kan noen synes det er enklere med (10, 10). Marker dette punktet tydelig. Det kan være til hjelp å ha rutenett på papir og tegne de ulike løsningene der.