Ringer av mangekanter

Aktivitet

Her ser du et mønster som er laget av regulære femkanter.

347 - bilde 1
Figur 1

Hvis vi fortsetter mønsteret, tror du det vil danne en komplett ring, eller tror du de siste femkantene vil overlappe hverandre?

Du kan prøve det selv med appleten nedenfor. 

Du kan finne hjelp til å bruke denne tesselleringsappleten ved å klikke nedenfor. (Vis/skjul) Her er det en forklaring og en film som kan være til hjelp.

Vis/skjul

Forklaring på hvordan du bruker tesselleringsappleten:

  • Velg en mangekant fra verktøylinja øverst.
  • Klikk på to punkt i tegnefeltet for å få tegnet den første mangekanten.
  • Velg pilen i verktøylinja øverst til venstre. Ved å klikke på et blått hjørnepunkt kan du rotere eller endre størrelsen på mangekanten. Ved å klikke inne i mangekanten kan du flytte den i tegnefeltet.
  • Du kan legge til flere mangekanter ved å velge et av mangekantverktøyene og klikke på hvilke som helst to punkt.
  • Hvis du vil ha figurene til å henge sammen, må du klikke på to punkt i en figur du allerede har tegnet. Pass på at når du klikker på to punkt i en figur, må rekkefølgen være mot klokka, ellers blir den nye figuren tegnet inni eller over den gamle.
  • For å slette en figur eller et punkt skal du først klikke på papirkurven og deretter på det du vil slette.
  • Hvis du vil tegne en mangekant med mer enn 8 kanter, må du klikke på den blå åttekanten. Da kommer det flere mangekanter til syne i verktøylinja.

Du kan se en video som forklarer dette her.

Når du har undersøkt litt og blitt kjent med det interaktive verktøyet, kan du undersøke følgende:

  • Hvor mange femkanter danner en ring?
  • Hvor mange tikanter danner en ring?
  • Hvorfor blir det nøyaktig en ring, uten noe mellomrom eller overlapping?
  • Er det flere mangekanter som vil danne fine ringer?
  • Vil alle mangekanter kunne danne ringer?
  • Kan du finne en måte å forutsi hvor mange mangekanter du trenger av en sort for å danne en ring?

Starthjelp

Noen forklaringer som kan være nyttige:

  • Regulære tesselleringer bruker identiske regelmessige mangekanter for å fylle planet. Mangekantene må tegnes inntil hverandre, hjørne mot hjørne, sidekant mot sidekant, og det må ikke bli noen åpne rom imellom.
  • Det finnes bare tre regulære tesselleringer. Kan du finne hvilke mangekanter som kan brukes? Kan du forklare hvorfor det ikke finnes flere?
  • Semiregulære tesselleringer (eller arkimediske tesselleringer) har to egenskaper:
    • De er sammensatt av to eller flere regulære mangekanter som alle har samme sidelengde.
    • I hvert hjørne er mønsteret av mangekanter som møtes, det
  • Eksperimenter med appleten, og prøv å lage semiregulære tesselleringer.

Løsning

347 - bilde 2
Figur 2

10 regulære femkanter danner en ring. Her er en mulig forklaring:

347 - bilde 3
Figur 3

Hjørnevinklene i en regulær femkant er 108˚. Når vi forlenger to sidekanter inn mot midten av figuren, dannes det en likebeint trekant med vinkler på 72˚, 72˚ og 36˚ inn mot midten. 10 vinkler på 36˚ blir til sammen 360˚, så de ti trekantene fyller nøyaktig rommet innenfor femkantene.

 

Hvis vi prøver det samme med tikanter, får vi to løsninger, en med 10 tikanter og en med 5 tikanter. I den første er det tre sidekanter av hver tikant inn mot det åpne rommet i midten, i den andre er det bare to sidekanter fra hver tikant inn mot midten:

347 - bilde 4
Figur 4
347 - bilde 5
Figur 5

Hvis vi prøver med bare én sidekant inn mot det åpne midtrommet, ser vi at tikantene ikke danner en hel ring:

347 - bilde 6
Figur 6

Tenk over dette:

  • Hvilke mangekanter kan danne hele ringer der bare én side fra hver mangekant ligger inn mot det åpne rommet i midten?
  • Prøv å bruke metoden med å tegne inn vinkler, slik det er gjort med femkantene ovenfor, for å undersøke dette.
  • Kan du finne din egen metode for å løse problemet?
  • Hvilke mangekanter kan danne hele ringer hvis du får bruke mer enn én sidekant inn mot rommet i midten?

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Oppgaven tar utgangspunkt i en situasjon der vi bruker regulære mangekanter, og leder elevene inn mot undersøkelser som involverer vinkler, faktorer, multipler og konstruksjoner. Det interaktive verktøyet gir elevene muligheter til å eksperimentere og undersøke. De kan generere mange eksempler på leting etter mønster og sammenhenger, de kan prøve å forutsi hvordan ting henger sammen, formulere påstander og til slutt bevise påstandene.

I opplegget finnes det veiledning i bruk av GeoGebra-appleten, både som skriftlig forklaring og i form av en film.
 

Mulig tilnærming

Begynn med å vise elevene dette bildet:

347 - bilde 1
Figur 1

«Dette er et mønster som er laget av regulære femkanter. Hva tror dere skjer hvis vi fortsetter å føye til femkanter etter samme mønster?»

Noen elever kan foreslå at det trengs 10 femkanter for å danne en sammenhengende ring, andre kan kanskje foreslå at femkantene ikke vil nå helt sammen, eller at de to siste vil overlappe hverandre. Bruk litt tid på å diskutere forslagene. Ha fokus på begreper som symmetri, parallelle linjer og vinkler. Så kan tegningen fullføres interaktivt på tavla. Klassen vil se at det dannes en lukket figur, en regulær tikant inne i figuren.

«Hvordan kan vi være sikre på at femkantene når nøyaktig sammen i det siste hjørnet, at det ikke bare er svært nær?»

Kanskje må dere repetere hvordan en finner de indre vinklene i en regulær mangekant. Og kanskje er dette en anledning til å bevise at vinkelen som dannes i hvert hjørne i mangekanten i midten, faktisk er hjørnevinkelen i en tikant. (360˚ – 2 ∙ 108˚ = 144˚.)

Nå kan elevene begynne å utforske ringer med andre regulære mangekanter. Bruk det interaktive verktøyet såframt det er mulig.

Etter at elevene har arbeidet en stund med flere mangekanter, kan dere samle det de har funnet, på tavla:

Regulær mangekant

Antall som trengs for å danne en ring

Trekant

 

Firkant

 

Femkant

10

Sekskant

6 (eller 3, men da blir det ikke noe åpent rom i midten!)

Sjukant

14

Åttekant

4 eller 8

Nikant

 

Tikant

 

Dette kan lede elevene på veien ved å utforske følgende nøkkelspørsmål:

  • Kan man lage en ring med alle mulige regulære mangekanter?
  • Finnes det noen måte å forutsi hvor mange n-kanter det trengs for å danne en ring?
     

Mulig utvidelse

Utfordre elevene til å bevise hva som vil skje med regulære mangekanter som har flere kanter enn det som er tilgjengelig i GeoGebra-appleten i dette opplegget.

Elever kan også eksperimentere med ringer som er satt sammen av mer enn én type mangekanter, som i disse eksemplene:

347 - bilde 7
Figur 7
347 - bilde 8
Figur 8


Mulig støtte

Når elevene har laget et bilde av en ring av mangekanter, kan de få hjelp til å skrive det ut i stor versjon. På dette bildet kan de forlenge linjer, skrive inn kjente vinkelstørrelser og regne ut flere vinkler.