Areal og forhold

Aktivitet

På figuren nedenfor (som ikke er tegnet i riktig forhold), er arealet av tre trekantede områder gitt.

Kan du finne arealet av det fargede området?

Trekant der ett område er skravert
Figur 1

Kanskje du synes det er litt for lite informasjon til å løse dette problemet? Hvis du står fast, kan du klikke på tipsene nedenfor. Kanskje du finner noe som kan sette deg på sporet av en løsning.

Første tips

I GeoGebra-vinduet nedenfor kan du dra i punktene på figuren, slik at du får to trekanter med samme høyde og med grunnlinje langs samme linje.

Hva er forholdet mellom de to arealene og forholdet mellom de to grunnlinjene?

Kan du forklare hvorfor?

Kan du bruke dette til å løse problemet i oppgaven?

Andre tips

I figuren nedenfor er den røde linja halvparten så lang som den blå. Tallet og bokstavene inne i figuren representerer areal. Hvor stort er arealet A + B?

Trekant delt i tre deler
Figur 2

Tredje tips

Det kan være nyttig å sette navn på punktene, slik det er gjort i denne figuren. Du kan også dele den fargede firkanten i to trekanter og sette navn på dem. P og Q står for arealene av disse trekantene.

Trekant der ett område er skravert
Figur 3

Kan du bruke det du så i de to første tipsene til å skrive ned noen forhold som inkluderer P og Q?

 

Starthjelp

  • Hva skjer med arealet av en trekant hvis jeg dobler grunnlinja, men beholder samme høyde?
  • Hva hvis jeg tredobler grunnlinja?

Løsning

Trekant der ett område er skravert
Figur 3

Hvis vi bruker tipsene på trekanten BDC, ser vi at forholdet BO : OD = 10 : 5 = 2 : 1.

På samme måte ser vi forholdet EO : EC = 8 : 10 = 4 : 5.

Så kan vi se på trekantene BOA og ODA i trekanten BDA, og bruke forholdet vi fant ovenfor (husk at vi lot P og Q stå for arealer):

(8 + P) : Q = BO : OD = 10 : 5 = 2 : 1

Trekantene EOA og OCA i trekanten gir oss

P : (Q + 5) = EO : EC = 8 : 10 = 4 : 5.

Vi har et likningssystem med to likninger og to ukjente:

\(\frac {8+P}{Q}=\frac21\: \implies \: 8+P=2Q \: \implies \: P=2Q-8\\ \frac {P}{Q+5}=\frac45 \: \implies \: 5P=4Q+20\\ 5(2Q-8)=4Q+20\\ 10Q-4Q=20+40\\ 6Q=60\\ Q=10\\ P=2Q-8=2\cdot 10-8=12\)

Vi finner at arealet P = 12 og arealet Q = 10, så den fargede firkanten har areal 22.

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Oppgaven presenterer en geometrisk problem som tilsynelatende ikke har nok informasjon til at det lar seg løse. Men ved å være utholdende og bruke tipsene som følger med oppgaven, vil elevene bli overrasket over hvor enkel og elegant løsningen er.

Mulig tilnærming

Begynn med å vise dette bildet, og be elevene foreslå øvre og nedre grense for det fargede arealet. Hvor stort tror de det høyst kan være, og hvor lite må det minst være?

Trekant der ett område er skravert
Figur 1

«Tror dere vi har nok informasjon til å regne ut arealet av den fargede firkanten nøyaktig?» La elevene få litt tid til å tenke over dette. De kan nok komme fram til at det er gitt for få opplysninger i oppgaven.

«Noen ganger kan vi få innsikt og nye ideer ved å se på et enklere problem først …» La elevene bruke GeoGebra-vinduet fra det første tipset. Be dem prøve å finne en sammenheng mellom lengden på grunnlinja og arealet av trekanter som har samme høyde, og forklare sammenhengen.

Gå så tilbake til det opprinnelige problemet. «Er det noen deler av figuren i oppgaven som har egenskaper som tilsvarer det vi så i GeoGebra?»

«Andre viktige verktøy kan være å sette navn på linjer eller punkter og tegne inn hjelpelinjer.»

Vis elevene denne figuren:

Trekant der ett område er skravert
Figur 3

«Kan dere finne noen sammenhenger, gjerne likninger, som inkluderer P og Q, og som bygger på det vi nå har funnet ut om areal og lengder?»

Til slutt kan du be elevene skrive løsningen på en formell måte og kontrollere at hvert steg i resonnementet er tydelig og riktig.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hva vet vi?
  • Hva kan vi slutte oss til?
  • Hvis O ligger på BD, og trekanten BOC har dobbelt så stort areal som trekanten DOC, hva kan vi da si om forholdet mellom lengdene BO og OD?
  • Hva sier dette oss om forholdet mellom trekantene BOA og AOD?

Ressursen er utviklet av NRICH