Halvmåner

Aktivitet

Trekanten ABC er rettvinklet, vinkel A er rett. Det er tegnet en halvsirkel på hver av sidene i trekanten.  Da dannes det to «månesigder», slik de fargelagte områdene på figuren viser.

Kan du vise at arealet av de to månesigdene tilsammen er lik arealet av trekanten?

Rød og grønn halvmåne og en trekant


 

Starthjelp

• Du trenger ikke en gang å regne ut arealene for å bevise påstanden.

Løsning

Vi kan starte med å la halvsirkelen på hypotenusen vende den andre veien.

"Halvmåner" og en trekant

Ved Pytagoras’ setning kan vi vise at

Areal halvsirkel på AB + areal halvsirkel på AC = Areal halvsirkel på BC

Areal halvsirkel på BC:

\(\frac12 \pi (\frac{BC}{2})^2=\frac{\pi}{8} BC^2\)

Areal halvsirkler på de to katetene:

\(\frac12 \pi (\frac{AB}{2})^2+\frac12 \pi (\frac{AC}{2})^2\\ =\frac{\pi}{8} (AB^2+AC^2)\\ =\frac{\pi}{8} BC^2\)

Når vi lar halvsirkelen på hypotenusen vende inn over trekanten, vil toppunktet i den rette vinkelen, A, ligge på sirkelbuen. Så det vil alltid dannes to månesigder, uansett form på den rettvinklede trekanten.
 

Halvmåner som er dannet utenfor en trekant

Når halvsirkelen på hypotenusen vender innover i figuren ser vi at vi kan uttrykke arealet av de to månesigdene som

Areal trekant ABC + (areal halvsirkel på AB + areal halvsirkel på AC) – areal halvsirkel på BC

= areal trekant ABC