Vektorvandring

Aktivitet

Tenk deg at du har vektorene \(\overrightarrow{ b_1}=[2,1]\: \text{og}\: \overrightarrow{b_2}=[0,1]\), og at du har så mange som du ønsker av hver av disse to.

Tenk deg så at du starter i origo og går på en «todimensjonal vektorvandring» i koordinatsystemet. Hvert steg må være enten vektor b1 eller vektor b2, enten forlengs eller baklengs.

Undersøk hvilke koordinater du har mulighet til å nå på vandringen din.

Kan du finne andre par av vektorer som vil gi nøyaktig de samme destinasjonene?

Kan du finne noe par av vektorer som aldri vil komme innom noen av disse destinasjonene?

Kan du finne noe vektorpar som lar deg komme til alle punkter med heltallige koordinater?

Starthjelp

  • Prøv å tegne ulike vandringer med de to vektorene. Legger du merke til noe med punktene du kan komme til? Kan du forklare det du finner?
  • Hva er det minste steget du kan ta horisontalt ved å kombinere de to vektorene? Og hva er det minste vertikale steget?

Løsning

I horisontal retning kan man enten gå 0 enheter eller 2 enheter, til høyre eller venstre, med utgangspunkt i origo. Det betyr at vi bare kan nå punkter med partall som x-koordinat.

I vertikal retning kan vi gå 1 enhet oppover eller nedover, så det betyr at vi kan nå alle punkter med heltall som y-koordinat.

Vi kan altså nå alle punkter på formen (n, 2m).

To andre vektorer som kan la vandringen ende i de samme punktene, er [4, 1] og [2, 1]. De lar oss ende der x-koordinaten er partall, mens vi kan ende med y-koordinater i alle heltall. 

Hvis vi bare skal bruke heltallige koordinater, vil vi aldri finne vektorer som tar utgangspunkt i origo og aldri når noen av punktene vi nådde med vektorene [2, 1] og [0, 1]. For uansett hvilke x-koordinater vi velger, vil vi om vi går to steg med en vektor havne i et punkt med et partall som x-koordinat.

Vi kan heller ikke lage vektorer med rasjonale tall (brøker med heltall i teller og nevner) som x-koordinat, for vi vil ved et gitt antall seg komme til å havne i et punkt med et partall som x-koordinat.

Men hvis vi velger irrasjonale tall som x-koordinat, vil vi kunne vandre til punkter som aldri får heltall, og dermed ikke partall, som x-koordinat. Eksempler kan være \([\sqrt2,\ 1] og [0, 1] eller [\sqrt2,\ 0] og [0,\ \sqrt3]\).

Hvis vi hadde valgt to parallelle vektorer som for eksempel [2, 4] og [3, 6], ville alle oppnåelige punkter ligget langs ei rett linje, y = 2x. Alle punktene på ei slik linje er på formen (n, 2n), så denne vandringen ville komme til å få punkter som også var i vandringen vi startet med.

Å finne to vektorer som kan gi en vandring som når alle punkter med heltallige koordinater, (m, n), har den trivielle løsningen \(\overrightarrow {e_1}=[1,0]\: \text og\: \overrightarrow {e_2}=[0,1]\)

Det samme vil vi oppnå ved å velge to vektorer som ved lineær kombinasjon gir enhetsvektorene som differanse, for eksempel [3, 2] og [2, 1], fordi 2[3, 2] - 3[2, 1] = [0, 1] og 2[2, 1] – [3, 2] = [1, 0].

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Denne oppgaven oppmuntrer elevene til å tenke på vektorer som en bevegelse fra et punkt til et annet. Vi har behov for å representere både punkter og vektorer med koordinater, og problemet krever naturlig et samspill mellom geometri og algebra.

Mulig tilnærming

Oppgaven finner du på en kopioriginal her.

La elevene undersøke hvor de mulige endepunktene befinner seg når vi kombinerer to gitte vektorer på alle mulige måter. Noen elever vil undersøke problemet algebraisk, mens andre vil representere vektorene geometrisk. La elevene samarbeide, gjerne i par. Så kan de se og lære av hverandres tilnærminger og resonnement.

Oppmuntre elevene til å beskrive geometrisk mengden av punkter som kan bli laget ved å kombinere to vektorer.

Så snart elevene har kunnet beskrive løsningen på problemet, kan de få to nye utfordringer: å finne andre par av vektorer som gir de samme punktene ved en «vektorvandring», og å finne vektorpar som aldri vil lede til noen av punktene fra den første oppgaven.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hva har punktene du kan nå med de to vektorene \(\overrightarrow {b_1}\: \text og\: \overrightarrow {b_2}\) felles?
  • Kan du beskrive punktene du kan nå geometrisk, dvs. beskrive dem klart og tydelig uten algebra?

Mulig støtte

  • Arbeid systematisk med å kombinere de to vektorene \(\overrightarrow {b_1}\: \text og\: \overrightarrow {b_2}\) steg for steg, og skriv ned koordinatene til alle punkter du stopper ved.
  • Undersøk effekten av å ta vektorene i motsatt rekkefølge av det du gjorde først.