Båten skal til land

Problem

Tenk deg at du trekker en båt inn mot en kai, slik figuren viser.

Traktor trekker båt mot land.

Du kjører 1 m innover på kaia. Vil båten da ha flyttet seg mer enn 1 meter, mindre enn 1 meter eller nøyaktig 1 meter?

Løsning

Løsning ved å bruke Pytagoras’ setning

Figuren illustrerer situasjonen før og etter at båten har blitt flyttet fra posisjon B til posisjon C. Den har beveget seg distansen BC.

Trekant

I figur 3 er sidene i de to rettvinklede trekantene markert.

Trekant med forklaring

Vi bruker Pytagoras’ setning:

\(l^2 + h^2 = (a + 1)^2\\ l^2+ h^2=a^2 + 2a +1\)

og

\(h^2+k^2=a^2\)

Vi trekker de to likningene fra hverandre og får

\(l^2-k^2= 2a+1\), så

\(l^2 = k^2+2a+1\)

Hvis båten hadde flyttet seg 1 m, ville \( l=k+1\) og dermed \(l^2=(k+1)^2=k^2+2k+1\)

Men a er hypotenus, og k er katet i en rettvinklet trekant, så a > k, og \(k^2+2a+1>k^2+2k+1\)

Da er \(l^2>k^2+2k+1 \implies l>k+1\)

Det vil si at båten har beveget seg mer enn 1 meter.

 

Løsning ved tegning og trekantulikheten

Båten har beveget seg fra B til C.

Lengden AC har blitt rotert rundt A slik at de to blå linjestykkene har samme lengde.

Tenk deg at du beveger deg fra B til A. Det vil være lenger å bevege seg strekningen BC + AC enn å bevege seg langs BA. Da må BC > 1 m. Altså vil båten bevege seg mer enn 1 m.

Trekant med trekant i

Ressursen er utviklet av NRICH