Heltall på ei kule

Problem

En kule med radius 3 har sentrum i origo.

Hvor mange punkter på kulens overflate har koordinater der alle tre er hele tall?

Løsning

Vi tenker oss kula plassert i koordinatsystemet og et punkt (a, b, c) på kuleoverflaten, slik figuren viser.

Både den gule og den grønne trekanten er rettvinklet. Hypotenusen i den gule trekanten er katet i den grønne trekanten, og denne siden kaller vi k. Hypotenusen i den grønne trekanten er radien i kula, den har lengde 3.

Heltall på en kule

 

I den gule trekanten er a2 + b2 = k2.

I den grønne trekanten er k2 + c2 = 32a2 + b2 + c2 = 9

Siden a, b og c skal være hele tall som ikke er større enn 3, må a2, b2 og c2 være enten 0, 1, 4 eller 9.

 

Vi kan lete etter mulige løsninger ved å velge en verdi for a2 først og så en verdi for b2 som er slik at

a2+ b2 ≤ 9. Til slutt finner vi den verdien for c2 som gjør a2 + b2 + c2 = 9.

 

 

a2

 

b2

 

c2

 

(a, b, c)

0

0

1

4

9

9

8 (umulig)

5 (umulig)

0

(0, 0, 3), (0, 0, -3) 

 

 

(0, 3, 0), (0, -3, 0)

1

0

1

4

8 (umulig)

7 (umulig)

4

 

 

(1, 2, 2), (1, 2, -2), (1, -2, 2), (1, -2, -2)

(-1, 2, 2), (-1, 2, -2), (-1, -2, 2), (-1, -2, -2)

4

0

1

 

 

4

5 (umulig)

4

 

 

1

 

(2, 1, 2), (2, 1, -2), (2, -1, 2), (2, -1, -2)

(-2, 1, 2), (-2, 1, -2), (-2, -1, 2), (-2, -1, -2)

 

(2, 2, 1), (2, 2, -1), (2, -2, 1), (2, -2, -1)

(-2, 2, 1), (-2, 2, -1), (-2, -2, 1), (-2, -2, -1)

9

0

0

(3, 0, 0), (-3, 0, 0)

 


Dette gir 6 mulige kombinasjoner av a2, b2 og c2. Vi må huske på at ligninger på formen \(x^2=n\), der \(n\) er er et positivt tall, har to løsninger: \(x=\pm\sqrt{n}\).

Det blir i alt 30 punkter på kuleflaten med bare heltallige koordinater.

Ressursen er utviklet av NRICH