Å regne med cosinus

Aktivitet

Hvis du kjenner lengden av to sider i en rettvinklet trekant, kan du lett regne ut lengden av den tredje siden ved å bruke Pytagoras’ setning. 

Men hva hvis trekanten ikke er rettvinklet? Kan du da klare å regne ut den tredje siden?

Noen elever har prøvd å finne en regel for å regne ut lengden av den tredje siden når vi kjenner de to andre og vinkelen mellom dem.

Nedenfor ser du hvordan de har begynt resonnementene sine. Kan du fullføre hver av metodene og finne formler for å løse problemet?

Elev 1

Vis/skjul

Denne eleven tenker seg at sidene a og b og vinkel C er kjent.

Trekant med regnestykke ved siden av, bruker Pytagoras
Bilde 1

Elev 2

Vis/skjul

Denne eleven tenker seg at sidene a og b og vinkel C er kjent.

Trekant med regnestykke ved siden av, bruker Pytagoras
Bilde 2

Elev 3

Vis/skjul

Denne eleven tenker seg at sidene a og b og vinkel C er kjent.

To trekanter med regnestykke ved siden av, bruker Pytagoras
Bilde 3

Vil de tre metodene føre til likeverdige formler?

Vil alle metodene bli riktige for trekanter med både spisse vinkler og med en stump vinkel?

Starthjelp

Prøv å arbeide med én metode om gangen. Du kan ha nytte av følgende:

  • Pytagoras’ setning
  • cosinus for vinkler som er større enn 90˚
  • avstanden mellom to punkter i et koordinatsystem
  • trigonometri i rettvinklede trekanter

Løsning

Elev 1

\(x^2+y^2=a^2 \: \implies \: y^2=a^2-x^2\\ (b-x)^2+y^2=c^2 \: \implies \: y^2=c^2-(b-x)^2\\ a^2-x^2=c^2-(b-x)^2\\ c^2=a^2-x^2+(b-x)^2\\ c^2=a^2-x^2+b^2-2bx+x^2\\ c^2=a^2+b^2-2bx\\ \text{setter inn } x=a\cdot cosC\\ c^2=a^2+b^2-2ab\:cosC \)

Hvis vinkel C hadde vært stump:

Trekant med utledninger
Figur 3

\(x^2+y^2=a^2 \: \implies \: y^2=a^2-x^2\\ (b+x)^2+y^2=c^2 \: \implies \: y^2=c^2-(b+x)^2\\ a^2-x^2=c^2-(b+x)^2\\ c^2=a^2-x^2+(b+x)^2\\ c^2=a^2-x^2+b^2+2bx+x^2\\ c^2=a^2+b^2+2bx\\\)

Men nå er \(x=a\cos (180^\circ -C)=a(-\cos C)=-a\cos C\). Så
\(c^2=a^2+b^2+2b(-a\cos C)\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)

Regelen blir altså den samme om vinkel C er stump.

Elev 2

\(C:(0,0)\\ B:(a,0)\\ A:(b\cos\theta,b\sin\theta)\\ \text{avstanden fra A til B}=c\\ c=\sqrt{(a-b\cos\theta)^2+(0-b\sin\theta)^2}\\ c^2=a^2-2ab\cos\theta+b^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta=\\ =a^2-2ab\cos\theta+b(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\\ =a^2+b^2-2ab\cos\theta\)

Elev 3

\(c=b\cos A+a\cos B\\ c^2=(b \cos A+a\cos B)^2\\ =b^2cos ^2A+2ab\cos A \cos B+a^2\cos^2 B\\ =b\cos A(b\cos A+2a\cos B)+a^2cos^2 B\\ =b\cos A((b\cos A+a\cos B)+a\cos B)+a^2cos^2 B\\ =b\cos A(c+a\cos B)+a^2cos^2 B\\ =bc\cos A+ab\cos A \cos B+a^2cos^2 B\\ =bc\cos A+a\cos B(b\cos A +a\cos B)\\ =bc\cos A+ac\cos B\)

På tilsvarende måte finner vi

\(a^2=ac\cos B +ab\cos C\\ b^2=ab\cos C+bc\cos A\\ a^2+b^2=ac\cos B +ab\cos C+ab\cos C+bc\cos A a^2+b^2=(ac\cos B +bc\cos A)+2ab\cos C\\ a^2+b^2=c^2+2ab\cos C\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Mange elever opplever cosinussetningen som en komplisert formel som de bare må pugge og huske. I dette opplegget er utfordringen til elevene å selv utlede en formel for å finne den ukjente siden i en tilfeldig trekant. Alle de tre elevsvarene er starten på resonnement som kan føre fram til cosinussetningen. Å utforske regelen med ulike innfallsvinkler kan gi innsikt i hvor regelen kommer fra.

Mulig tilnærming

Dette opplegget passer å bruke før cosinussetningen blir introdusert.

«Se på denne trekanten. Jeg er sikker på at alle klarer å regne ut den ukjente siden.»

Rettvinklet trekant.
Figur 1

«Her er en litt annerledes trekant. Tror dere den ukjente siden vil være lengre eller kortere? Hvordan kan dere vite det?»

Trekant der den ene vinkelen er 70 grader
Figur 2

«Finnes det noen måte å regne ut den ukjente siden på når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem?»

La elevene få diskutere en stund i grupper på to eller tre. Du kan hjelpe dem litt på vei med slike spørsmål som: …

«Kan dere tegne inn noen hjelpelinjer som lager rette vinkler?»

«Når du har en rettvinklet trekant i figuren, hvilke opplysninger kjenner du om denne trekanten? Og hva kan du nå regne ut?»

«Hvis du tegner trekanten i et koordinatsystem, hva kan koordinatene til hjørnene være?»

«Hvis du kjenner koordinatene til to punkter i koordinatsystemet, hvordan skal du kunne regne ut avstanden mellom dem?»

Hvis noen elever raskt klarer å regne ut den ukjente siden i dette eksemplet, kan du be dem prøve å finne en generell regel. 

Så snart elevene har funnet en måte å regne på, kan du dele ut kopier av de tre elevsvarene. Si at disse arkene viser hvordan tre elever har begynt arbeidet med å finne en generell regel.

Kanskje vil du dele klassen slik at hver elev eller hver elevgruppe får bare ett av arkene å arbeide med. Så kan de etterpå i samlet klasse presentere løsningene sine for hverandre.

Alternativt kan alle arbeide med alle tre metodene. Da kan klassesamtalen til slutt dreie seg om å vurdere de tre metodene og snakke om hvilke de selv foretrekker.

Gode veiledningsspørsmål

For elev 1s start på løsning:

  • Kan du forklare hva du har gjort i hver linje i utregningene?
  • Hvordan kan vi uttrykke lengden x ved hjelp av a, b og vinkel C?
  • Vil denne metoden bli riktig hvis vinkel C var stump?

For elev 2s start på løsning:

  • Kan du plassere en hvilken som helst trekant i koordinatsystemet på denne måten?
  • Vil denne metoden bli riktig hvis vinkel C var stump?

For elev 3s start på løsning:

  • Hvordan kan cos (180˚ - C) uttrykkes ved hjelp av cos C?

Mulig utvidelse

Utfordre elevene til å finne en formel for arealet av en trekant hvis de kjenner to sider og vinkelen mellom dem.

Dette kan bli brukt til å utlede sinussetningen (\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)).

Mulig støtte

Måtene elev 1 og elev 2 har valgt, er enklere enn elev 3s start. Derfor kan en velge å arbeide bare med de to første. Det er viktig å la elevene samarbeide og støtte hverandre i arbeidet med å skape forståelse for regelen.
 

Ressursen er utviklet av NRICH