Kvarter

Problem

Fire kongruente likesidede trapes(*) er plassert inne i et kvadrat PQRS slik at de lengste av de parallelle sidene ligger langs diagonalene, som figuren viser. Punktet X deler PQ i forholdet 3 : 1.

Hvor stor del av kvadratet er svart?

Stjerneform
Figur 1

(*) I et likesidet trapes er de to sidene som ikke trenger å være parallelle, like lange. De danner samme indre vinkel med den lengste av de parallelle sidene, og dermed også med den korteste av de parallelle sidene.

Løsning

Figuren viser området som ligger øverst og til høyre i det store kvadratet.

Streker med svart felt
Figur 2

QXYZ er det svarte trapeset. Forlengelsen av ZY skjærer PQ  i W.

Fordi trapeset er likesidet, er \(\angle\)QZY = \(\angle\)ZQX = 45°. Siden YX || ZQ, er også \(\angle\)XYW = \(\angle\)WXY = 45°, og trekantene WYX og WZQ er likebeinte, rettvinklede trekanter.

Da \(\angle\)ZWQ = 90° og Z ligger i sentrum av kvadratet PQRS, kan vi slutte at W er midtpunktet på PQ.

Og siden PX : XQ = 3 : 1, må W ligge midt på PQ og X midt på WQ. Når forholdet mellom sidene i de to formlike trekantene XYW og QZW er 1 : 2, er forholdet mellom arealene 1 : 4. Med andre ord utgjør trapeset ZQXY \(\frac 34\) av \(\triangle\)ZQW. Og \( \triangle\)ZQW utgjør \( \frac 18\) av kvadratet PQRS, så ett av de fire kvadratene utgjør \(\frac34 \cdot \frac18=\frac {3}{32}\) av det store kvadratet.

Vi har fire like trapeser, og til sammen utgjør de \(\frac {3}{32} \cdot 4 = \frac 38\) av det store kvadratet.

Ressursen er utviklet av NRICH