Sneglens ferd

Problem

En snegle er plassert i et hjørne på toppflaten av en kube med sidelengde 1 m. Sneglen kan krype med en fart på 1 m per time.

Hvor stor del av kubens overflate er innen rekkevidde for sneglen i løpet av 1 time?

Løsning

Klikk her for å se et håndskrevet løsningsforslag

Klikk på bildet for å se en større versjon. 

Håndskrevet løsningsforslag til oppgaven.

Nedenfor ser du en modell av sneglens muligheter, tegnet på en utbrettet kube. 

Modell av sneglens muligheter, tegnet i GeoGebra.

 

 

I løpet av en time kan sneglen nå alle punkter som ligger \(1\) m eller mindre fra punktet der den starter. Det vil si at den kan nå punkter i de tre planene som møtes i hjørnet der den begynner, men den kan ikke komme seg inn på de øvrige tre sideflatene.

På hver av de tre sideflatene kan sneglen nå alle punkter som ligger på og innenfor en kvart sirkel med radius \(1\) m.

Kube med grått felt i

Arealet av området sneglen kan nå på en time, er \(3 \cdot \frac14 \cdot \pi \cdot 1^2= \frac{3\pi}{4}\)

Arealet av overflaten av hele kuben er \(6 \cdot 1^2 = 6\)

Sneglen kan nå \(\frac{\frac{3\pi}{4}}{6} = \frac {\pi}{8}\) av hele overflaten i løpet av en time.

Ressursen er utviklet av NRICH