Utenfor boksene

Problem

Bildet viser tre kvadrater som er plassert på hver sin sidekant til en trekant.

Hva er summen av de markerte vinklene?

Trekant med tre kvadrat rundt

 

Løsning

I hvert hjørne av trekanten har fire vinkler sitt toppunkt. De er 360o til sammen. De to vinklene som hører til kvadratene, er til sammen 180o. Så for hvert hjørne i trekanten har vi:

\(a + u =180^\circ\\\)
\(b + v = 180^\circ\\\)
\(c + w = 180^\circ\)

Dessuten er

\(a + b + c = 180^\circ\)

Da er

\((a + u) + (b + v) + (c + w) = 3 \cdot 180^\circ\\\)

\((a + b + c) + u + v + w = 3 \cdot 180^\circ\\\)

\(180^\circ + u + v + w = 3 \cdot 180^\circ\\\)

\(u + v + w = 2 \cdot 180^\circ\\\)

\(u + v + w = 360^\circ\)

De markerte vinklene er 3600 til sammen.

286 - bilde 2

Alternativt har vi tre sirkler (en trekant og seks rette vinkler):

\(360^\circ  \cdot 3 - (180^\circ  + 6\cdot 90^\circ ) = 360^\circ\)