Innvendige vinkler

Aktivitet

Tegn et rektangel og merk av et punkt på innsiden. Trekk linjestykker mellom punktet ditt og to hjørner i rektanglet som ligger ved siden av hverandre. Mål vinklene som er markert i GeoGebra-appleten nedenfor.

Prøv med noen andre eksempler. Hva legger du merke til?

Andrine kom med en påstand: «Den grønne og den blå vinkelen blir til sammen like store som den røde.»

Støtter eksemplene dine påstanden til Andrine?

Kan du bevise påstanden?

Kan du bevise den på mer enn én måte?

Hva skjer om du begynner med et parallellogram? Eller et trapes?

Hva skjer om punktet ditt er utenfor rektanglet?

Starthjelp

Det kan være til hjelp å utforske sammenhengene mellom vinklene i denne figuren.

Løsning

Rektangel med innvendige vinkler

 Ved å navngi noen vinkler slik som på bildet over, kan vi argumentere som følger:

\(\begin{align} b+x&=90^\circ\\ g+y&=90^\circ\\ b+g+x+y&=180^\circ\\ x+y+r&=180^\circ\\ \Rightarrow b+g+x+y&=x+y+r\\ b+g&=r \end{align} \)

Kan du bevise påstanden på andre måter?

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Denne oppgaven gir elevene mulighet til å øve på å måle vinkler og repetere egenskaper til vinkler, i en kontekst som kan føre til overraskende resultater. Forhåpentligvis vil uventede resultater pirre nysgjerrigheten til elevene, og utfordre dem når de skal forklare hvorfor dette skjer.

Mulig tilnærming

«Tegn et rektangel og marker et punkt på innsiden av rektanglet.» Det kan være lurt å bruke ruteark som støtte når elevene skal tegne rektanglene sine.

«Trekk linjestykker mellom punktet ditt og to hjørner i rektanglet som ligger ved siden av hverandre, slik at du får en trekant. Det kan for eksempel se ut som dette.» Du kan vise bildet nedenfor, eller bruke GeoGebra-appleten.

Rektangel med innvendige vinkler

«Mål vinklene som er markert i figuren, og noter resultatene dine.»

Det kan være hensiktsmessig å samle klassens resultater i en tabell:

  Blå vinkel Grønn vinkel Rød vinkel
1      
2      
3      

 

 

 

 

«Hva legger dere merke til ved disse vinklene?»

Det er mye som kan legges merke til.
Er den røde vinkelen alltid størst?
Hva er den største verdien som den røde vinkelen kan ha?
Er det et forhold mellom de tre vinklene?

Du kan legge til en kolonne med tittel «Blå + grønn vinkel» om ingen av elevene påpeker denne sammenhengen.

«Det ser ut som den blå og den grønne vinkelen til sammen blir like store som den røde. Stemmer det alltid?»

«Kan vi finne en måte å bevise eller bekrefte denne påstanden på? Kan vi bevise det på flere måter?»

Unøyaktige målinger kan føre til at påstanden ikke alltid stemmer. Det kan være et godt utgangspunkt for å diskutere begrensningene til verktøyene vi bruker.

Gode veiledningsspørsmål

  • Hva legger du merke til ved alle eksemplene?
  • Stemmer påstanden alltid?
  • Kan du bevise det?
  • Kan du bevise det på mer enn én måte?

Mulig utvidelse

Hva om vi begynner med et parallellogram? Eller et trapes?

Hva om punktet er utenfor rektanglet?

Mulig støtte

Elever som ikke mestrer eller ikke er kjent med forhold mellom vinkler i forskjellige situasjoner, kan oppfordres til å utforske forholdene mellom vinklene i denne figuren:

Ressursen er utviklet av NRICH