Hva er størst?

Aktivitet

Thumbnail

Hva er størst, n + 10 eller 2n + 3?

Hvordan avgjør dere det?

Thumbnail

 

Karl sa:

Jeg lurer på hva som skjer hvis jeg velger n = 4.
\(4+10=14,\) men \(2\cdot4+3=11.\)

Så det ser ut til at + 10 er størst.

 

Alise sa:

Jeg lurer på hva som skjer hvis jeg velger = 10.
\(10+10=20,\) men \(2\cdot10+3=23.\)

Så det ser ut til at 2n + 3 er størst.

 

  • Kan dere forklare hvorfor Karl og Alise har kommet fram til ulike konklusjoner?
  • Kan dere tegne et diagram som kan være til hjelp?
  • Her er flere par uttrykk som dere kan sammenligne. Hvilket uttrykk er størst?   

      a)      2n + 7 og 4n + 11
      b)      2(3n + 4) og 3(2n + 4)
      c)      2(3n + 3) og 3(2n + 2)

 

Flere utfordringer:

  • Finn to uttrykk som er slik at det ene er størst når n < 5, og det andre er størst når n > 5.
  • Finn tre uttrykk som er slik at det første er størst når n < 0, det andre er størst når n er mellom 0 og 4, og det tredje er størst når n > 4.
  • Finn tre uttrykk som er slik at det første er størst når n < 3, det andre er størst når n > 3, og det tredje blir aldri størst.
  • Finn tre uttrykk som er slik at det ene er størst for alle verdier av n.

Starthjelp

Karl og Alise har begynt å skrive resultatene inn i denne tabellen. Fyll inn det som mangler.

Hva ser du?

n + 10 2n + 3
4 14 11
5    
6    
7    
8    
9    
10 20 23

 

Løsning

\(n+10>2n+3\:for\:n<7\\ n+10=2n+3\:for\:n=7\\ n+10<2n+3\:for\:n>7\)

En graf gir et godt bilde av dette:
 

Thumbnail

Lærerveiledning

Hva ønsker vi med denne oppgaven?

Dette problemet skal være med på å tydeliggjøre for elevene hvilken betydning en variabel har i et algebraisk uttrykk. I arbeidet med oppgaven får elevene anledning til å bruke det de kan om likninger for rette linjer og likningssett. Problemet kan også brukes som en forberedelse til arbeid med ulikheter.

 

Mulig tilnærming

Begynn timen med å stille spørsmålet:

Hva er størst, n + 10 eller 2n + 3?

Gi elevene litt tid til å tenke ut et svar, og be dem diskutere det med hverandre i par. Se om noen tar i bruk grafer for å argumentere for løsningen.

Del løsninger i hele klassen. Hvis alle mener at det ene uttrykket er større enn det andre, kan de få høre hva Karl og Alise kom fram til.

Finnes det noen måte å representere dette på grafisk, slik at vi kan bli overbevist om at det første uttrykket er størst når n < 7, og det andre er størst når n > 7?

Så snart elevene forstår at størrelsen på uttrykkene avhenger av verdien av n, kan de få neste oppgave:

Hvilket uttrykk er størst i disse tilfellene?

  1. 2n + 7 og 4n + 11
  2. 2(3n + 4) og 3(2n + 4)
  3. 2(3n + 3) og 3(2n + 2)

 

La elevene får tid til å arbeide med dette, og legg vekt på at de skal kunne forklare og begrunne løsningene de kommer fram til.

La dem til slutt få arbeide med de siste utfordringene i oppgaven:

  • Finn to uttrykk som er slik at det ene er størst når n < 5, og det andre er størst når n > 5.
  • Finn tre uttrykk som er slik at det første er størst når n < 0, det andre er størst når n er mellom 0 og 4, og det tredje er størst når n > 4.
  • Finn tre uttrykk som er slik at det første er størst når n < 3, det andre er størst når n > 3, og det tredje blir aldri størst.
  • Finn tre uttrykk som er slik at det ene er størst for alle verdier av n.

 

Oppgaven kan skrives ut fra en kopieringsoriginal som finnes her.

Sørg for at elevene underveis eller til slutt ser uttrykkene som sammenlignes grafisk. Det hjelper dem til å forstå at det er uendelig mange uttrykk som oppfyller kravene i hvert punkt.

 

Gode veiledningsspørsmål

  • Er det ene uttrykket alltid størst?
  • Hvordan kan du avgjøre hvilket uttrykk som er størst?

 

Mulig utvidelse av oppgaven

Gi elevene utfordringer der de må finne andregradsuttrykk sammen med lineære uttrykk. For eksempel:

Finn to uttrykk som er slik at det første er størst når n < 0 og n > 3, men det andre er størst når n er mellom 0 og 3.


 

Illustrasjonsfoto:  Larry Li via Unsplash.