Mega-andregradslikningar
Aktivitet
Hver av likningane nedanfor har seks moglege løysingar. Kan de finne alle?
\(1.\quad(n^2-5n+5)^{(n^2-11n+30)}=1\\ 2.\quad(n^2-7n+11)^{(n^2-13n+42)}=1\)
Kan de lage fleire mega-andregradslikninger som desse?
Kva er vilkåra for at ein mega-andregradslikning skal ha minst éi løysing?
Kva er maksimalt talet på løysingar ein mega-andregradslikning kan ha?
Starthjelp
- Kva verdiar av a og b tilfredsstiller likninga \(a^b=1\)?
Løysing
Likninga \(a^b=1\) er sann i følgjande tilfelle:
\(a^0=1\\ 1^m=1\\ (-1)^k=1\:\text{når}\:k\:\text{er eit partal}\)
1.
\((n^2-5n+5)^{(n^2-11n+30)}=1\)
Set eksponenten = 0: \(n^2-11n+30=0\Leftrightarrow n=5\:\lor\:n=6\)
Set grunntalet = 1: \(n^2-5n+5=1\Leftrightarrow n=1\:\lor\:n=4\)
Set grunntalet = -1. Sjekkar om løysingane gir partal som eksponent:
\(n^2-5n+5=-1\Leftrightarrow n=2\:\lor\:n=3\\ n=2\Rightarrow n^2-11n+30=12,\:partal\\ n=3\Rightarrow n^2-11n+30=6,\:partal\)
Løysing: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, n = 6
2.
\((n^2-7n+11)^{(n^2-13n+42)}=1\)
Set eksponenten = 0:\(n^2-13n+42=0\Leftrightarrow n=6\:\lor\:n=7\)
Set grunntalet = 1: \(n^2-7n+11=1\Leftrightarrow n=2\:\lor\:n=5\)
Set grunntalet = -1. Sjekkar om løysingane gir partal som eksponent:
\(n^2-7n+11=-1\Leftrightarrow n=3\:\lor\:n=4\\ n=3\Rightarrow n^2-13n+42=12,\:partal\\ n=4\Rightarrow n^2-13n+42=6,\:partal\)
Løysing: n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, n = 6, n = 7
Generelt er mega-andregradslikninger på forma
\(f(x) ^{g(x)} = 1\)
der funksjonane \(f\) og \(g\) er andregradsfunksjonar. Eventuelle løysingar er x-verdier som er løysingar til likningane
\(g(x)=0\) eller
\(f(x) = 1\) eller
\(f(x) = -1\) samtidig som \(g(x)\) er eit partal.
Kvar av desse likningane er andregradslikningar, som kan ha 0, 1 eller 2 løysingar.
Vilkåret for at ei andregradslikning \(ax ^2 +bx + c =0\) skal ha minst ei løysing er at \(b ^2-4ac \ge 0.\)
Maksimalt talet på løysingar er 6.
Lærarrettleiing
Kvifor arbeide med denne oppgåva?
Elevane får ofte inntrykk av at å løyse andregradslikningar er berre eit spørsmål om teknikk, og at når dei meistrar teknikkane, er løysing av andregradslikningar berre rutine. I denne oppgåva må dei sjå samanhengen mellom ulike område av matematikken, nemleg andregradslikningar og potensar, og når desse kunnskapane blir kopla, er løysinga mykje enklare enn ho først ser ut til.
Mogleg tilnærming
Byrj med å vise desse likningane:
\(1.\quad (n^2-5n+5)^{(n^2-11n+30)}=1\\ 2.\quad (n^2-7n+11)^{(n^2-13n+42)}=1\)
Elevane skal prøve å finne minst éi løysing av kvar av desse likningane.
Gi dei tid til å arbeide i par. Følg med på samtalane, og prøv å merke deg ulike tilnærmingar. Nokon byrjar med å finne eksponentar som er lik 0, andre med å gjere uttrykka som står som grunntal i potensane, lik 1.
Etter ei stund kan nokre elevpar dele løysinga si med klassen.
Viss elevane har løyst oppgåvene med ulike metodar, kan du utfordre dei til å forklare korleis dei har tenkt, og kva som er likt å ulikt med dei ulike måtane å tenkje på.
Når elevane har presentert løysingane sine, kan du be dei telje kor mange ulike løysingar klassen har funne til saman. Spør om dei kan vere sikre på at dei har funne alle løysingane, og korleis dei i så fall kan vere sikre på det. Så kan de diskutere kor mange løsniger ein mega-andregradslikning kan ha, og om alle slike likningar verkeleg har løysingar.
Elevane kan deretter lage og løyse tilsvarande likningar.
Gode rettleiingsspørsmål
- Kva verdiar av a og b tilfredsstiller likninga \(a^b=1\)?
- Korleis kan kvar av løysingane av likninga \(a^b=1\) hjelpe dykk til å løyse oppgåvene?
- Kva er vilkåra for at ei vanleg andregradslikning skal ha løysingar?
- Kor mange løysingar kan ei vanleg andregradslikning ha?
Ressursen er utviklet av NRICH