Alise og Karl vil vite kor mange faktorar det er i 360.
Korleis vil de finne det ut?
Alise har prøvt å dividere 360 med kvart tal frå 1 og oppover. Så har ho skrive faktorane som talpar for alle divisjonane som gjekk opp.
\((1,\:360)\\ (2,\:180)\\ (3,\:120)\\ (4,\:90)\\ (5,\:72)\\ (6,\:60)\\ (8,\:45)\\ (9,\:40)\\ (10,\:36)\\ 12,\:30)\\ (15,\:24)\\ (18,\:20)\\\)
"Eg kan slutte her, for neste moglege faktor blir 20, og den har eg alt. Så det er i alt 24 moglege faktorar i 360."
Karl begynte med å finne primtalsfaktorane i 360.
\(\quad360\\ =2\cdot180\\ =2\cdot2\cdot90\\ =2\cdot2\cdot2\cdot45\\ =2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot15\\ =2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\\ =2^3\cdot3^2\cdot5 \)
Så lage han ein tabell med alle moglege kombinasjonar av desse primtalsfaktorane:
| \(2^0\) | \(3^0\) | \(5^0\\5^1\) |
| \(3^1\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(3^2\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(2^1\) | \(3^0\) | \(5^0\\5^1\) |
| \(3^1\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(3^2\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(2^2\) | \(3^0\) | \(5^0\\5^1\) |
| \(3^1\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(3^2\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(2^3\) | \(3^0\) | \(5^0\\5^1\) |
| \(3^1\) | \(5^0\\5^1\) | |
| \(3^2\) | \(5^0\\5^1\) |
Her vil den øvste "greina" gje \(2^0\cdot3^0\cdot5^0=1,\) ellevte linje vil gi \(2^1\cdot3^2\cdot5^0=18,\) osv.
Når Alise ser Karls metode, seier ho: «Det må vere mange tal som har nøyaktig 24 faktorar!»
Karl og Alise finn fleire tal som må ha nøyaktig 24 faktorar. Kan de sjå kvifor tala nedanfor har 24 faktorar?
\(\begin{align}25\:725&=5^2\cdot3^1\cdot7^3\\ 217\:503&=11^1\cdot13^3\cdot3^2\\ 312\:500&=5^7\cdot2^2\\ 690\:625&=17^1\cdot13^1\cdot5^5\\ 94\:143\:178\:827&=3^{23} \end{align}\)
Tenk over desse spørsmåla:
Fleire utfordringar:
\(25\:725=5^2\cdot3^1\cdot7^3\)
I dette produktet ser vi at 5 kan vere faktor 0, 1 eller 2 gonger, og desse tre moglegheitene skal kombinerast med 3, som kan vere med 0 eller 1 gong. Dette blir 6 ulike kombinasjonar, som igjen skal kombinerast med 7, som kan vere faktor 0, 1, 2 eller 3 gonger.
Vi kan sjå på eksponentane til primtalsfaktorane for å finne kor mange faktorar det er i 25 725:
\((2+1)\cdot(1+1)\cdot(3+1)=24\)
Eit tal med 14 faktorar: \(14=1\cdot14\) og \(14=2\cdot7\). Då kan vi lage produkt med to ulike primtal, for eksempel
\(\begin{align} {2^0} \cdot {3^{13}} &= 1\:594\:323\\ {2^1} \cdot {3^6} &= 1458 \end{align}\)
\((den\:eine\:eksponenten+1)\cdot(den\:andre\:eksponenten+1)=14 \)
Det minste talet med 14 faktorar er: \(2^6\cdot3^1=192\)
\(15=1\cdot15\) og \(15=3\cdot5\). Eit tal med 15 faktorar må altså bestå av to primtalsfaktorar med eksponentar 2 og 4, eller berre ein primtalsfaktor med eksponent 14. Det minste talet med 15 faktorar er \(2^4\cdot3^2=144.\:(2^{14}=16\:384,\) så det er ikkje størst).
\(18=1\cdot18=2\cdot9=3\cdot6=2\cdot3\cdot3\)
Det minste talet med 18 faktorar finn vi ved å velje lågast mogleg tal for både primtalsfaktorar og eksponentar. Vi får dei lågaste tala som eksponentar dersom vi veljer å sjå på \(18=2\cdot3\cdot3\).
Då vil eksponentane bli høvevis 1, 2 og 2. Dei tre lågaste primtala er 2, 3 og 5, så det lågaste talet med 18 faktorar er:
\(2^2\cdot3^2\cdot5=180.\\ (\rm{Kontroll:}\:2^5\cdot3^2=288,\:\:2^8\cdot3^1=768,\:\:2^{17}=131\:072)\)
Det er berre kvadrattal som har eit oddetal faktorar. I kvadrattala vil alle faktorar finnast eit partal gonger. Dersom vi legg 1 til kvar eksponent for å finne kor mange kombinasjonar det blir, ser vi at antalet blir eit produkt av oddetal, som igjen er eit oddetal.
\(100=2\cdot2\cdot5\cdot5\)
Det minste talet med 100 faktorar er \(2^4\cdot3^4\cdot5^1\cdot7^1\)
840 er det talet under 1000 som har flest faktorar:
\(2\cdot3\cdot5\cdot7=210<1000,\) medan \(2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11=2310>1000.\) Så vi kan berre bruke primtalsfaktorane 2, 3, 5 og 7. Alle desse tala går opp i 840.
\(2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot7=210\cdot7=1470>1000\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot5=210\cdot5=1050>1000\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot3=630\cdot3=630<1000\\ 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot2^2=210\cdot2^2=840<1000\\\)
Faktorane 5 og 7 kan vere med berre éin gong. 3 kan vere med inntil to gonger, og 2 kan vere med inntil tre gonger.
Vi får flest faktorar dersom vi bruker flest 2-arar:
\(2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot2^2=2^3\cdot3\cdot5\cdot7=840\)
Dette talet har \((3+1)(1+1)(1+1)(1+1)=32\) faktorar.
Dersom vi berre bruker primtalsfaktorane 2, 3 og 5, får vi:
\(2\cdot3\cdot5=30\\ 2\cdot3\cdot5\cdot2^5=2^6\cdot3\cdot5=960<1000\:og\:2\cdot3\cdot5\cdot2^6=1920>1000\)
960 har 28 faktorar. Dette er talet under 1000 med flest faktorar dersom vi bruker berre 2, 3 og 5.
Vi prøver med berre primtalsfaktorane 2 og 3:
\(2^8\cdot3=768<1000\:og\:2^9\cdot3=1536>1000\)
768 har 18 faktorar.
\(2^9=512<1000\:og\:2^{10}=1024>1000\)
512 har 10 faktorar.
I denne oppgåva skal elevane undersøkje krafta i å bruke primtalsfaktorisering som representasjon for eit tal.
Be elevane finne ut kor mange faktorar nokre tal har. La gjerne 360 vere eit av tala. (Å kjenne faktorane i 360 kjem også til nytte når vi reknar med vinklar i regulære polygonar.)
Når elevane har kome i gang, skal dei fortelje kvarandre om strategiane dei bruker. Dei fleste vil sannsynlegvis liste opp faktorpar (slik som Alise i oppgåva). Få fram ulike strategiar. Be elevane spesielt forklare kva dei gjer for å arbeide systematisk, og korleis dei veit når dei kan stoppe undersøkingane.
Dersom ingen har funne primtalsfaktorane i 360 og eit system for å sjå kor mange faktorar dei ulike kombinasjonane av primtalsfaktorar vil gi, kan de sjå på Karls metode, med ei form for trediagram eller tabell som hjelp til å telje antalet faktorar. Diskuter korleis denne oppstillinga er å forstå.
Deretter kan elevane diskutere kor mange faktorar det finst i desse eksempla:
\(\begin{align}25\:725&=5^2\cdot3^1\cdot7^3\\ 217\:503&=11^1\cdot13^3\cdot3^2\\ 312\:500&=5^7\cdot2^2\\ 690\:625&=17^1\cdot13^1\cdot5^5\\ 94\:143\:178\:827&=3^{23} \end{align}\)
Så snart elevane ser at Karls metode kan gjere det lett å løyse problema ovanfor, kan dei få fleire utfordringar:
For somme kan det vere lettare å forstå problemet dersom dei ser at det handlar om å finne ut kor mange ulike rektangel dei kan lage med heiltalssider der arealet blir 360. Det kan vere ei hjelp å begynne å teikne. Så gjeld det å finne eit system for å tenkje seg til dei ulike løysingane utan å teikne.
Desse og liknande spørsmål kan elevane undersøkje med blyant og papir, eller dei kan få høve til å arbeide med rekneark og programmering.
Ressursen er utviklet av NRICH