Tenk deg at du har fire posar som inneheld mange 1-tal, 4-tal, 7-tal og 10-tal.
Du kan velje tal frå posane og leggje dei saman slik at du får ulike summar. Du treng ikkje bruke tal frå alle posane, og det er alltid mange nok tal i dei.
Vel tre tal og legg dei saman. Vel tre nye tal og legg saman. Gjenta dette fleire gonger.
Alise og Karl vil vise kva som skjer, på kvar sin måte.
Alle tal i 3-gangen kan representerast slik:
Tala i kvar av posane kan representerast slik:
På tilsvarande måte kan tal som er 2 meir enn eit tal i 3-gangen, representerast slik:
Når eg veljar tre tal, endar eg opp med tre tal i 3-gangen + 3, og til saman blir dette også eit tal i 3-gangen:
Sidan alle tal i 3-gangen kan skrivast på forma 3n, kan tala i alle posane skrivast som 3n + 1.
På tilsvarande måte kan alle tal som er 2 meir enn eit tal i 3-gangen, blir skrivne som 3n + 2.
Så lenge eg hugsar på at eg arbeider med tal i 3-gangen, kan eg for å gjere det enkelt kalle alle tal anten +0, +1 eller +2.
Når eg vel tal frå desse posane, er alle +1-ere, så når eg legg saman tre, får eg +3, som også er i 3-gangen.
Kva skjer viss du vel fire tal frå posane og legg dei saman?
Kva skjer viss du vel fem, seks, sju … tal frå posane?
Kva slags summar får du viss du vel 99 tal? Eller 100 tal?
Kan du bruke Karls eller Alises argument for å overtyde deg sjølv?
Byrj med å undersøkje kva som skjer når du legg saman to, tre, fire … tal frå posar som inneheld 2, 4, 6 og 8. Kan du forklare kva du finn?
Viss vi vel tre tilfeldige tal frå posane, vil det minste talet vi kan få, vere 3, og alle tala blir tal i 3-gangen.
Viss vi vel fire tal, vil summen alltid bli eit tal som er 1 meir (eller 2 mindre) enn eit tal i 3-gangen. Det minste talet er 4.
Viss vi vel fem tal, vil det minste moglege talet bli 5. Dei neste tala blir 5 pluss eit tal i 3-gangen.
Viss vi vel seks tal, vil det minste moglege talet bli 6. Dei neste tala blir 6 pluss eit tal i 3-gangen (desse tala blir også tal i 3-gangen).
Osb.
Viss vi vel 99 tal, vil summen alltid bli eit tal som vil byrje med 99 og auke med tal i 3-gangen.
Denne oppgåva gir elevane høve til å reflektere over strukturane som ligg under multipler og restar, og ho kan også utfordre dei til å lage fine generaliseringar og grunngivingar.
Begynn med å vise elevane bilete av dei fire posane med tal. Anten eit bilete av posar med tala 1, 4, 7 og 10, eller eit av posar med tala 7, 10, 13 og 16. Du kan velje kva bilete du vil bruke i oppgåva til elevane.
La elevane velje tre tilfeldige tal og leggje dei saman. Dei kan ta kva som helst tre tal, gjerne fleire frå same pose. Deretter samlast ein del av summane dei har komme fram til på tavla.
Mange elevar vil sikkert sjå at alle tala er tal i 3-gangen.
«Prøv å finne tre tal som til saman ikkje er i 3-gangen. Viss de ikkje klarer å finne nokon slike tal, må de prøve å finne ei forklaring på kvifor det er umogleg.»
La elevane arbeide saman ei stund i par. Gå rundt i klassen, og prøv å danne deg eit bilete av kor mykje dei forstår. Så samlast klassen til ein felles samtale for å dele det dei har funne ut.
Dersom klassen ikkje har funne nokon representasjonar som er til hjelp for å forstå dette forholdet, kan du vise dei Karls og/eller Alises representasjonar av problemet. Bruk tid på å få elevane til å forstå kvifor alle summane blir tal i 3-gangen.
«No må de undersøkje vidare kva som skjer med summane viss de trekkjer fire, fem, seks … tal frå posane. Om ei stund kjem eg til å plukke ut ganske mange tal frå posane. De skal få vite kor mange tal eg vel, og så blir det utfordringa dykkar å fortelje kva som er spesielt med den summen eg kjem til å få.»
Gi elevane tid til å arbeide samen i par med problemet. Samle til slutt alle, og spør dei kva som vil bli spesielt med summen viss dei plukkar ut 99 tilfeldige tal frå posane og legg dei saman. Kva blir spesielt med summen viss dei vel 100 tal og legg dei saman? Elevane skal forklare korleis dei tenkjer, ut frå strukturen i problemet, ikkje berre ut frå eit mønster.
Kva er den minste summen eg kan lage?
Kva er den nest minste summen?
Kva er spesielt med tala som er i desse posane? Kva eigenskap har tala i alle fire posane?
Byrj med å be elevane å finne ut kva som skjer viss dei vel to, tre, fire … tal frå posar som inneheld tala 2, 4, 6 og 8. Kan dei beskrive det dei finn ut? Og kan dei forklare det?
Ressursen er utviklet av NRICH